2.1 插值与拟合.ppt

1、2.1 插值与拟合,插值方法(interp，spline) 拟合方法(polyfit，polyval),插值、拟合在化工计算中的作用,表格式物性数据的内插 离散实验数据点的处理 微分法反应动力学方程拟合,插值简介,已知n+1个数对xi, f(xi)，其中i0,1n，（xi互不相同，称之为节点），求取函数g(xi)=f(xi)。 当xi, f(xi)有相当的精确度，但它们的函数关系难以确定或难以计算时，则可利用这些数据点来构造一个较简单的函数来近似表达原函数关系。 根据逼近函数的不同，常见的插值方法： Lagrange多项式插值（线性插值） 分段插值 三次样条插值,Matlab的插值（Inter

2、polation）函数,一维插值interp1,调用格式： yiinterp1(x,y,xi) 已知数据向量（x,y），计算并返回在插值向量xi处的函数值 yi=interp1(x,y,xi, method) method用于指定插值算法，其值可以是： nearest最近插值 linear线性插值（默认值） spline分段三次样条插值 pchip分段三次Hermite插值 cubic与pchip相同,一维插值方法比较,x=0:1:10;y=sin(x); plot(x,y,o),hold on ezplot(sin,0 10) xi=0:0.15:10; yi1=interp1(x,y,xi

3、); plot(xi,yi1,+) yi2=interp1(x,y,xi,nearst); plot(xi,yi2,*) yi3=interp1(x,y,xi,cubic); plot(xi,yi3,d) yi4=interp1(x,y,xi,spline); plot(xi,yi4, s) hold off,初始数据对于插值的影响,x=0:2:10;y=sin(x); plot(x,y,o),hold on ezplot(sin,0 10) xi=0:0.15:10; yi=interp1(x,y,xi); plot(xi,yi,+) yi2=interp1(x,y,xi,nearst);

4、plot(xi,yi2,*) yi3=interp1(x,y,xi, pchip); plot(xi,yi3,d) yi4=interp1(x,y,xi,spline); plot(xi,yi4, s) hold off,P42 例3-1,clear all clc % 已知离散点(x,y) x = 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; y = exp(x); xi = 2.55 2.63 2.77 2.86; % 插值向量 % 一维插值 yi_interp1_nearst = interp1(x,y,xi,nearst); % 最近插值 yi_interp1_linear = inter

5、p1(x,y,xi) ; % 线性插值（默认） yi_interp1_spline = interp1(x,y,xi,spline); % 三次样条插值 yi_interp1_pchip = interp1(x,y,xi,pchip) ; % 分段三次Hermite插值 y_true = exp(xi) ; % 对应于插值向量的真实函数值 y_true yi_interp1_nearst yi_interp1_linear yi_interp1_spline yi_interp1_pchip,spline与pchip,Spline()的调用格式为： yi=spline(x,y,xi) 此函数等

6、同于yi=interp1(x,y,xi, spline) pp=spline(x,y) 返回三次样条插值的分段多项式形式的向量 spline函数可以保证插值函数的三阶导数连续,pchip()的调用格式为： yi=pchip(x,y,xi) 此函数等同于yi=interp1(x,y,xi, pchip) pp=pchip(x,y) 返回三次样条插值的分段多项式形式的向量,pchip与spline的区别,利用点(x=sin(k/6),y=cos(k/6)，其中k=0 1 2 3来逼近单位圆的前四分之一圆周。比较pchip与spline的差别。,pchip与spline的区别：三次样条在相邻的节点上

7、并不保证单调性；而Hermite分段三次样条则可保证插值的局部单调性,t=linspace(0,pi/2,4); x=cos(t);y=sin(t); xx=linspace(0,1,40); plot(x,y,s,xx,pchip(x,y,xx);spline(x,y,xx) grid on, axis equal legend(Orignal data,pchip,spline),二维插值：interp2,调用格式： zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) method算法属性值可以是； nearest最近插值 linear线性插值（默认） spline三次样条插值(

8、spline) cubic立方插值,二维插值函数的使用,假设有一组分度系数的“海底深度测量数据”，由以下一段程序生成： x=-5:5;y=-5:5;X,Y=meshgrid(x,y); Z=-500+1.2*exp(-(X-1).2+(Y-2).2)-0.7*exp(-(exp(X+2).2+(Y+1).2); surf(X,Y,Z) 试由插值方式绘制海底形状图。,x=-5:5;y=-5:5;X,Y=meshgrid(x,y); Z=-500+1.2*exp(-(X-1).2+(Y-2).2)-0.7*exp(-(exp(X+2).2+(Y+1).2); xi=linspace(-5,5,50

9、); yi=linspace(-5,5,50); XI,YI=meshgrid(xi,yi); ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,cubic); surf(XI,YI,ZI),P42 例3-2,clear all clc x = 0.5:0.5:3.0; y = 0.1:0.1:0.6; T = . 0.1646 0.4276 0.6872 0.9420 1.1904 1.4309 0.2714 0.6400 1.0033 1.3585 1.7032 2.0349 0.4474 0.9904 1.5244 2.0453 2.5486 3.0306 0.7377 1.5680 2.3

10、836 3.1774 3.9425 4.6722 1.2162 2.5203 3.8002 5.0441 6.2406 7.3788 2.0052 4.0904 6.1357 8.1217 10.0295 11.8411; xi = 1.9; yi = 0.36; zi = interp2(x,y,T,xi,yi,spline) z_true = exp(xi).*sin(yi)+yi-0.1,拟合简介,拟合和插值的区别在于： 拟合时，所得函数不需要过所有数值点 插值函数不宜外推，拟合函数在某些情况则可以 拟合方法中最常用的是最小二乘曲线拟合 最小二乘法的基本思路是使拟合因变量y在给定点xi上

11、使残差平方和最小 本节只介绍多项式函数拟合,最小二乘多项式拟合：polyfit，polyval,p=polyfit(x,y,n),输入参数：(x,y)为已知数据向量，n为多项式阶数；输出参数p为拟合生成的多项式的系数向量（长度为n+1）,y=polyval(p,xi),返回xi处的拟合函数值,多项式次数对拟合效果的影响,x=0.5:0.5:3;y=1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60; xi=0.5:0.05:3; a2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(a2,xi); plot(x,y,ro,xi,y2,-s) hold on a4=polyfit(x

12、,y,4);y4=polyval(a4,xi); plot(x,y,ro,xi,y4,-d) a7=polyfit(x,y,7);y7=polyval(a7,xi); plot(x,y,ro,xi,y7, -*) hold off,已知下表数据，用polyfit进行多项式拟合,P44 例3-4,clear all clc t = 0 0.250.500.751.00; y = 1.0931.25601.63872.15702.7183; p = polyfit(t,y,2) ti = linspace(t(1),t(end),100); yi = polyval(p,ti); plot(t,y,o,ti,yi,-) xlabel(t) ylabel(y),P44 例3-5,clear all clc xi = 1.001.251.501.752.00; yi = 5.105.796.537.458.46;