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文档简介

1、第一节 方阵的特征值与特征向量,二次型,1,学习交流PPT,特征值问题与二次型,第六章 二次型及其标准形,2,学习交流PPT,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,3,学习交流PPT,例如,都为二次型；而,为二次型的标准形.,4,学习交流PPT,2用矩阵表示,二、二次型的表示方法,5,学习交流PPT,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,6,学习交流PPT,解,例,7,学习交流PPT,设有可逆 线性变换,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨

2、论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,8,学习交流PPT,说明,9,学习交流PPT,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,10,学习交流PPT,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例4,11,学习交流PPT,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,12,学习交流PPT,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,13,学习交流PPT,于是所求正交变换为,14,学习交流PPT,解,例5,15,学习交流PPT,六、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而

3、这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,16,学习交流PPT,思考题1,17,学习交流PPT,思考题1解答,18,学习交流PPT,特征值问题与二次型,第五节 正定二次型与正定矩阵,19,学习交流PPT,一、惯性定理,20,学习交流PPT,二、正(负)定二次型的概念,21,学习交流PPT,为正定二次型,为负定二次型,例如,为不定型二次型,为负半定二次型,22,学习交流PPT,三、正(负)定二次型的判别,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,23,学习交流PPT,定理3,充分性,必要性,24,学习交流PPT,定义2,25,学习交流PPT,这个定理称为霍尔维茨定

4、理,定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式为正，即,26,学习交流PPT,正定矩阵具有以下一些简单性质：,推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,27,学习交流PPT,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,28,学习交流PPT,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,29,学习交流PPT,解,例5 若二次型,正定，求参数 t 应满足的条件.,30,学习交流PPT,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺序主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型

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