正项级数判别 法

1、第二章第一节。正项级数及其收敛方法，正项级数的判别方法，第12章，如果级数满足条件：则称为正项级数。1.正项级数及其收敛方法，序列极限的存在准则：单调有界序列必须有极限，定理1。正项级数，收敛性，部分和序列，有界性，部分和序列是单调递增序列，证明了：是正项级数，它的部分和是：所以sn是有界的，所以原级数收敛。定理2(比较(2)如果级数发散，则级数发散，即：的收敛是大的，小的收敛是一定的；小分歧，大分歧。(1)如果它被定理1知道，因此，级数，(2)如果它被定理1知道，因此，级数，收敛，也有界，收敛；发散的，无界的，发散的；推论：如果正项级数，那么定理2中的结论仍然成立，并且，在某项n之后，完全充

2、分关系：成立。示例2。讨论p级数的敛散性，(常数p 0)，解： 1)如果，由于调和级数，p级数发散，发散，发散，并且可以用比较收敛方法知道：因为当，因此，时间，2)如果，考虑级数的部分和，级数收敛，这是由比较收敛方法决定的发散当p 1。当，(2)，几何级数，收敛时。当p-级数收敛时，让它收敛到定理1所知的s。公比、方法2、调和级数和P级数是两种常用的比较级数。比较收敛法的不便之处在于：它需要参考系列。从比较判别法可以看出，给定的序列也是发散的。解决方案是：所以原始系列是正系列。是一个收敛的几何级数，所以，是收敛的。(4)确定级数的敛散性。解，即级数收敛，所以级数收敛。0、收敛和具有相同的收敛和

3、发散。收敛；发散的，发散的；注意：如果它发散，它不一定发散。定理3。(比较收敛法的极限形式)，设两个正项级数，其实质是：将两个正项级数的一般项比较为无穷小量的阶，这可以用比较收敛法来证明，用比较收敛法来证明，假设收敛，(2)知道收敛与发散的矛盾。所以散度。判别式级数的敛散性，其解：根据比较试收敛法的极限形式已知，其解：根据比较试收敛法的极限形式已知。0、收敛和具有相同的收敛和发散。收敛；发散的，发散的；(1)特别地、收敛、如果、(2)取、发散、如果、(或)、发散，并且推断(极限收敛方法)被设置为正级数，(1)如果，级数发散；(2)如果p1，则级数收敛。例如，如果n，那么给定的级数收敛。(1)使

4、用比较收敛方法(包括推论或极限形式)，有必要选择一个适当的收敛被称为比较对象的级数。(2)常用的比较对象是等比级数、P级数和调和级数。(3)有时很难选择比较对象。说明：定理4。比率收敛法(Dalembert判别式法)，设，为正级数，然后，(1)当，(2)当，证明： (1)，收敛，级数收敛；当、或系列发生分歧时。从比较和收敛的方法来看，(3)当=1时，这种方法不能用来判断级数的敛散性。因此，当级数发散时，意味着：可以收敛或发散，例如，p级数，但级数收敛；系列发散。因此，当(2)注意：时，比较判别法和比值判别法经常结合使用，例8。确定级数，解：因为，所以，收敛，收敛，收敛。比率收敛法的优点：不用寻

5、找比较对象就可以直接使用数列的一般项。判断级数、解和比值的方法是无效的，需要用其他方法来判断。的聚合。确定级数的收敛性。解是：用比较判别式方法知道的级数也是收敛的。是p=2的p级数，是收敛的。注：当某个判别方法失败时，不要盲目，示例10。讨论级数的敛散性，求解：根据定理4，级数收敛；级数发散；(2)当1(或)时，级数发散；(3)当=1时，这种方法不能用来判断级数的收敛性。像比值评价法一样，根值评价法也具有使用直观方便的优点；比率收敛法和根值收敛法都要求所用的极限存在且不等于1。定理5。根值收敛法(Cauchy判别式法)，设，是正项水平，那么，数，并且根值收敛法适用于含有n次幂的一般项；确定下列

6、级数的收敛性。解决方法：因为，它是由根值判别式，级数，收敛，和由双边剪取规则，解决方法：因为，根值判别式是无效的，所以给定的级数发散。确定下列级数的收敛性。比率判别法与根判别法的比较：(1)对于适用对象，如果一般项目含有因素，一般考虑使用比率法；如果一般项目包含因素，一般考虑使用根方法；(2)适用范围，如果根方法失败，即比率方法也将失败，即此时需要它，否则它将不能成立。(3)一般来说，比值法操作简单，根值法应用广泛。例12:确定级数，解：因为，并且包含因子，(1)当0 a e时，给定的级数收敛；的聚合。(2)当a=e时，给定的级数发散；例12:确定级数的收敛性，解：因为和包含因子。(3)当a=e时，给定的级数发散。证明，证明，研究级数，所以研究级数收敛；因此，也就是说，内容是概括的，1。利用部分和序列的极限来判断级数的敛散性，2 .摘要：用正级数来判断收敛，必要条件，散度，满意度，比值收敛