按年龄分组的种群增长模型.ppt

1、差分方程模型,按年龄分组的种群增长模型,前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型,微分方程模型为,差分方程模型为,这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的增长的影响有很大的不同这一特点.,本节我们介绍的模型是Leslie在研究女性人口时建立的.,问题的分析与模型的假设,将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组,比如研究人口时我们可以每10岁或者5岁分成一个年龄组.与此相对应,将时间离散化成时段,其间隔保持与年龄组的间隔一致.(没有比第n组中年龄最大值更大者),种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用雌性个体数量为研究对象比较直接,方便.下面

2、的种群数量就是指该种群的雌性数量.,记 第k个时段 第i 年龄组 的种群数量为 xi(k), i=1, 2, ，n;k0,1,2,第i 年龄组的繁殖率为bi,即第i 年龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量.,记第i 年龄组的死亡率为di,其意是第i年龄组1个时段内的死亡数与该组的总数之比;因此si=1- di为存活率.dn=1, sn=0.,注意:这两个“率”的意义不同,这里我们进一步假设bi和di不随时段k变化,只与其年龄的分组i有关.,模型的建立,下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人数之间的转移变化规律.,这与林场经营问题以及渔场经营问题不同,将第k时段的各年龄组的人数写成向

3、量:,则模型为,其中矩阵L为(如上),这是一阶齐次差分方程组,其求解方法与一阶齐次差分方程类似.其解为,若L和x(0)已知,通过上式我们容易计算出各个时段的人数.(L中的数据由统计资料得到),差分方程组平衡点的稳定性,解代数方程,即,结论:当1不是矩阵A的特种根时,(4)只有平衡点O;而当1是矩阵A的特种根时,(4)有非零平衡点,其平衡点为矩阵A的特征向量.,由于A有特种根1,即使其他的特种根都在单位圆内,我们也不能由此得到平衡点x*是稳定的(需要进一步考察),稳定状况分析,由定义,矩阵L中的元素满足,Leslie矩阵,关于Leslie矩阵(简称L矩阵),有下面的研究成果:,定理1 L矩阵有唯

4、一的正特征根1,且是单重的,其相应的正特征向量为,L矩阵的其他n-1个特征根满足,注:若某个si=0,则第i+1组应该取消.,验证,定理2 若L矩阵的第一行有两项顺次的元素bi, bi+1都大于零,则,且差分方程组(1)的解(3)满足,其中常数c由bi,si和x(0)确定.,定理1,2的条件对于种群增长来说通常满足.,其中常数c由bi,si和x(0)确定.,若x(0)为L相应于2的特征向量,则,若x(0)为L相应于1的特征向量,则(7)中c=1.,此时(7)中c=0;,在定理1,2的条件满足时,x(k)的稳定状态分析:,1) 由(7)式,k充分大时有,从(8)知,种群中各年龄组的数量正比于x*

5、中的相应的分量,故特征向量x*反映了种群按年龄组的分布情况,可称为稳定分布.,2) 由(8)式,我们看到差分方程组(1)式可近似为,由(9)我们易知,好像差分方程组(1)几乎由其唯一的正特种根决定.当1 1时,种群的数量递增;而1 1时,种群的数量递减. 1可称为固有增长率.,3) 1 =1时,种群的数量保持不变,此时,则R表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均数量,称为总和繁殖率.因此,R=1时种群数量不变.此时稳定分布为,人口模型,我们将前面的模型用到人口研究上.取1年为1个时段,设育龄区间为i1, i2,记第k年i岁女性生育率为bi(k),(k)是第k年的每位i1岁女性活到i2岁时的生育数,称为生育胎次.,R表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均数量,由人口普查得到