罗斯贝波的传播与演变.ppt

1、1,Chp 13 Rossby波的传播与演变,2,在自然科学的许多领域内，因为控制方程的非线性，变系数，边界条件的复杂性等原因，很多问题都难以求得精确的解析解 。为了寻求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（级数解法，小扰动方法）和数值解法；或者两者合用。,近似方法中最主要的是摄动方法，针对非正则摄动问题，又发展出了多尺度方法，它们在频散波的能量传播和Rossby波共振相互作用等方面已有广泛应用，取得了不少成果。,3,4,二、下面用实例具体说明如何用摄动方法对基本方程组进行简化： 引入位势,，正压原始方程组（浅水方程组）可以写为：,（11.18）,首先，要对（11.18）作无量纲化

2、处理，用*量表示无量纲量。对于中纬度大尺度运动，时间尺度取平流时间尺度（,），扰动位势取地转尺度,（,），取,平面近似（,故可取：,）。,（11.19）,5,6,7,既有：,将,相同幂次的项合并在一起（这里从略），若取零级近似（,的项），则有：,零次幂,这就是（11.22）的第一式,若取一级近似（取,的一次方项而略去高次幂项），则有：,这就是（11.24）的第二式,这样，就达到了简化方程组的目的。总之，有零级近似：,（11.22）,8,其物理意义是很明显的：中纬度大尺度运动最基本的特征，是运动满足地转风关系和水平无辐散关系：（11.22）中有：,将（11.22）写到有量纲形式的方程组，为：,（

3、11.24）,注意：上述零级近似方程组中不含,项，故不能描述流场随时间的演,变过程，而一级近似却能解决这一问题，前面推了一级近似第一个方,程，其余类推（具体推导中要利用上页,的性质）：故,有一级近似：,9,（11.24）,但（11.24） 中含有下标为“1”的量，但是这可以消去。作运算,可得：,，,再将（11.22）的第三式代入，有无量纲涡度方程：,（11.25）,10,显然，由1与2得到的上述（11.25）与3构成了二联闭合方程组，写为有量纲式，为：,（11.26）,称为正压准地转方程组，其特点是涡度方程和连续方程中除散度外，取了地,转近似。其中,，是地转流函数。,得正压准地转位势涡度守恒关

4、系：,（11.27）,11,三、多尺度方法简介 （1）基本概念,用WKB法简化方程组很有用，但是不能适应于任何情况，例如当渐近解在区间内出现非一致有效（渐近级数发散）时就不行了，称奇异摄动。如,（13f.11）阻尼系数为,的线性阻尼谐振方程,现取,为小参数：,，则按摄动法，可设解为：,-（13f.12）,下面将代入（13f.11），然后按,的各次幂项整理合并。,12,分别令,的各次幂项系数为0，则分别得出各级近似如下：,：,（13f.13）下标为0表示零级近似,：,（13f.14）一级近似的方程中仍含有带有下标为0的项,：,（13f.15）,易知，（13f.13）的通解为：,（13f.16）,

5、由此可得：,，代入（13f.14）右边：,（13f.17）,类似的，（13f.17）又代入（13f.15）右边，又可以求出：,（13f.18）,13,故按（13f.12），原始方程（13f.11）的解为：,（13f.19）,考虑（13f.19），后项与前项之比为：,按级数收敛要求，此比值不应超过O（1）的大小，但是现在比值为,可见，只要t取到,，比值就达到O（1），t再增加，,，,则比值就O(1),可见，t越大， 越大，故是发散的。,结论：,时，两相邻项的比值变为无界，这种项称为久期项。怎么办？ 从数学上讲，（13f.11）的精确解已经解决了（简谐振荡解）：,14,。换言之，（13f.21）中

6、不仅,可见，在（13f.21）中，当且仅当（,（13f.20）,作级数展开：,（13f.21）,（13f.22）,）为小量时，才可用有限项来逼近,为小量，而是（,）,作为一个,变量来考虑：,（13f.23）,同样，（13f.22）中也应该把（,）看成一个变量,，当,为小,量时，才可能用有限项逼近,，则（13f.20）中，振幅是取,决于（,）,，而位相取决于,，两者是变化快慢不同的两个,过程。,15,16,对大气波动（以一维为例，余类推）：,（2）缓变波列的概念,（13.1）,（13.2）,（13.3）,17,若波列的振幅随时间和空间的变化比位相随时间和空间的变化慢得多的话，即：,则称此波列为缓

7、变波列。,结论：振幅是缓变过程，而位相是快变过程。多尺度方法可将二者统一起来。,18,19,(13.9),20,13.1.2 波包的传播，群速,当波动振幅随时间和空间变化时，波动就称为波包：,（13.1）,即可引进一组缓变量：,于是缓变波包（13.1）就表示为如下形式, 能刻划出缓变波包的特征：,（13.24）,显然有以下微分关系：,（13.25）,21,如前所述：,（13.25）,以及：,（13.26）,同理,22,这样，对一个扰动（线性化后的），我们就可设其有波包解（13.24） ，将其带到该扰动方程，利用（13.25）（13.26） 就可得到振幅A满足的微分方程。将A按小参数展开（即用W

8、KB方法），就得各级近似，进而可以找到波动的一些重要性质。,这一方法称为多尺度展开方法，通常又称为WKBJ方法。 下节将对正压Rossby波这个具体例子加以讨论，从而能够较为详细地了解WKBJ分析法。,23, 13.2.1 缓变Rossby波包的传播，群速度,在讨论WKB法时导出了准地转正压位涡守恒方程：,(11.27),其中，正压准地转位涡为：,地转风也可以由流函数表示：,(1).线性化：设,，其中,，代入（11.27），有：,，即：,，故线性化后正压准地转扰动位涡方程为：,（13.27）, 13.2. Rossby波的能量和能量通量,24,（2）.设（13.27）有缓变波包解：,（13.2

9、8）,则因：,按积的导数，有：,25,（13.29）,这是一个关于振幅A的方程。,（3）将要求的解A按小参数,作幂级数展开（WKB法）：,（13.30）,（4）将（13.30）代入到（13.29），合并,的各级幂项，则可得零级近似为：,（13.31）,则x方向的相速度为：,26,但按（13.31）知道 0，则：,（13.32）,（13.33）,其中，群速度的两个分量为：,利用（13.22），也可以将（13.33）的自变量改回到x,y,t，则有：,27,（13.34）,其中，,L观点，跟随质点运动，其,不变。,E观点，以,运动时观测,，则,不变。,（13.35）,这可以表明，缓变波包的振幅即波包

10、迹以,移动，可见群速度正表示,波包络移动的速度。,28, 13.2.2 波动能量和能量通量,-（13.36）,故：,故（13.36）可以改写为：,29,两端乘以1，各项变号，再两两合并，得到：,（13.37）,上式中，第一项表示动能与势能之和*，第二项表示波动能量与群速度的乘积。故称为：, （13.38）,*单位截面流体柱中单位质量上的平均动能为：,动能与势能之和,能量通量矢量,30,单位质量上的平均位能为：,可见，E的确是动能与势能之和。引入E，,之后，（13.37）变为：,（13.39）,31,同理：,32,33,34,35,36,37,13.3 Rossby波的频散，上游效应,13.3.

11、1 Rossby波群速度特征,向外传播。对频散波，,。当,时，扰动能量将先于扰动源到达下游，从而在下游,引起新的扰动，或使下游已有的扰动加强。这种上游扰动对下游产生,的快于扰源本身传播的影响，称为上游效应。,大气中产生某种扰动后，由上节知，能量要以,38,39,40,13.3.2 上游效应 外源影响,下面以正压Rossby波为例加以讨论：, Laplace变换：对f(t),其L变换及其逆变换分别为：,41,42, 正压Rossby波问题,下游将出现什么情况？据此，有线性化后正压无辐散扰动涡度方程,定解问题：考：在t时，x=0处出现一个气旋式涡度,=常值0,及其相应的定解条件,直接求偏微分方程困

12、难，可用L变换将所求原函数,化为相函数 , 的方程,，,（13.59）就化为常微方程！从而可求解,取L变换：, L变换，对（13.59）（13.60），,43,44,将（1）-（3）代回到（13.59），终有关于,象函数求解 （13.61）正是二阶齐次常系数线性常微分方程，其特征方程为,有二不等之实根,，故象函数有如下通解：,（13.63）,45,将(a)代入（13.63），可知：B= -A （13.64） 将(b)代入（13.63），,（13.65）,逆变换（L反演） 利用L变换公式对上式反演即得所求,，不过为方便我们不直接求,逆变换，而是将,（13.66）,46,总之，问题归结为求出（13.69）这样的L逆变换，而,的反演是不难的，,正如前已复习的变换公式30可知：当象函数为,47,的反演为（13.73）；,可利用延迟定理解决,的反演为（13.74）；,至于,由此完成对,的反演，得到,(13.75),的反演是,，而我们最终要求,定理即可解决。将（13.75）,的反演，正如前述，这通过积分,代回到（13.69） ，终于完成反演，得原方程的解：,结果讨论