弧微分与曲率.ppt

1、第三章 微分中值定理与导数的应用,高等数学,第六节 弧微分与曲率,怎样描述曲线局部弯曲程度？,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,),我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度；,一 弧微分,规定：,易看出：弧长 是x的单调增函数.,下面求 的导数与微分,弧微分公式,弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds.,因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以,由此得弧微分公式:,或者,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,弯曲程度越大转角越大,

2、转角相同弧段短的弯曲大,1、曲率的定义,二、曲率及其计算公式,问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？,提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.,2、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,注:参数

3、方程下曲率的计算,例2 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率.,曲线在点(1 1)处的曲率为,因此y|x11 y|x12,解,例3 抛物线yax2bxc上 哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得,显然 当2axb0时曲率最大,因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|,例4. 求椭圆,在t=0处的曲率.,解:,故曲率为,在t=0处,即在点(a,0)的曲率为,思考:,上面的椭圆在何处曲率最大?,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切

4、圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数.,注:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例6. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径.,解：,法线： x = 0 .,切线：y = 0 ,求 的最小曲率半径时的曲率

5、圆的方程.,例7 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25,因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长,y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得,例9,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,四、小结,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3.