统计物理课件 第八章.ppt

1、第八章,玻色统计和费米统计,基本内容：热力学量的统计表达式 弱简并理想玻色气体和费米气体 玻色-爱因斯坦凝聚（了解） 光子气体(重点) 金属中的自由电子气体（重点）,简并气体的概念,理想气体的配分函数：,经典极限条件（非简并性条件）：,不满足非简并条件的气体称为简并气体， 简并气体必须用玻色分布或费米分布处理,物理意义：满足经典极限条件的气体分子的平均距离远大于气体分子的热波长。此时，量子效应忽略，这正是“经典”的含义。,8-1 热力学量的统计表达式,一.平均粒子数,引入巨配分函数 ：,先讨论玻色系统，费米系统方法完全类似。,二. 内能,三. 广义力和物态方程,四.熵， 的确定,五.玻耳兹曼关

2、系,玻尔兹曼关系,第七章我们证明了玻耳兹曼关系对玻耳兹曼系统成立，现在发现玻耳兹曼关系对玻色系统（费米系统）也是成立的。,六.巨热力学势,七.费米系统,巨配分函数 ：,和玻色系统的统计表达式完全一样,8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体,约定：,上面符号适用于费米气体,下面符号适用于玻色气体,不考虑分子内部结构，只有平动自由度：,在体积V内，在能量 范围内，分子可能的微观状态数为：,系统的总分子数为N，确定拉氏乘子 ：,在体积V内，在能量 范围内，分子可能的分子数为：,系统的内能：,对于：,当满足弱简并条件时， 较小，但是不能忽略，因此有：,为了便于看出内能表达式的物理意义，注意到 很小，可以

3、将内能表达式中的 用零级近似：,由此得到：,上述第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子的全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能，弱简并情况附加内能较小。可以看出，费米气体的附加内能为正，玻色气体的附加内能为负，物理上，这相当于在费米粒子之间会出现等效的排斥作用，在玻色粒子之间会出现等效的吸引作用。这个效应在物理上相当重要。,8-3 玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）,上节讨论的是弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到了量子统计关联对系统宏观性质的影响，弱简并时 小，影响微弱。,本节可以看到，当理想玻色气体的 时会出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象。,考虑N个全同近独立的玻色子

4、组成的系统，温度为T，体积为V，为简单，设粒子自旋为零。注意这里考虑的是三维空间的情况。,玻色分布：,一.化学势的确定,化学势由如下公式确定：,因此，化学势是温度T 和分子数密度n 的函数。,上述化学势的确定公式是严格公式，但是是一个级数求和，不好计算，下面给出积分形式，我们后面的主要任务是讨论这个积分形式的问题。,以上公式的问题在于：态密度公式,二.化学势趋于零时的临界温度,温度为零时，所有粒子都呆在基态，因此：,温度很高时，粒子尽可能呆在激发态上，基态粒子数极少，这是上面化学势的积分式子可以应用的条件。温度为零时，全体粒子都呆在基态上，在温度大于零但不是很高的温度的时候，基态粒子上的粒子数

5、不可忽略。,现在，我们的问题是，化学势随着温度的变化趋势是下面哪一个图？,上面两个图中，Tc 表示化学势为零时的温度。,（2）所有玻色子刚好被激发，也就是基态粒子数为零。,（1）该温度下化学势为零。,要严格知道Tc ，必须求解化学势对温度和分子数密度的依赖关系，但正如我们前面所说，这个级数不好求，实际上也不可能求出，因为对系统的信息（简并度和能级）了解不充分；积分形式虽然好计算，但是这个积分本身不包含基态的粒子数，因此不严格。因为这些原因，我们引入临界温度Tc,它满足如下两个条件：,也就是说，临界温度满足：,三.玻色-爱因斯坦凝聚,临界温度Tc 也称为凝聚温度。,凝聚在 的粒子称为玻色-爱因斯

6、坦凝聚体，它的特征：,能量、动量、熵全为零！,0TTc时，理想玻色气体的内能是激发态粒子的能量的统计平均值：,理想玻色气体出现 BEC 的条件是：0TTc，由于：,出现 BEC 的临界条件是：,出现 BEC 的条件是：,物理上实现BEC 的方法是：,（1）增加原子数密度 n；,（2）降低温度T（即增大原子热波长）,萨特延德拉纳特玻色,爱因斯坦,萨特延德拉纳特玻色（Satyendra Nath Bose） （1894.1.1.1974.2.4.） 印度物理学家，最著名的成果是1924的量子物理研究，该研究为玻色-爱因斯坦统计及玻色-爱因斯坦凝聚理论提供了基础。玻色子就是以他的名字命名的。 192

7、4年，玻色写了一篇推导普朗克量子辐射定律的论文。该论文中，玻色首次提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布对微观粒子不会成立，这是因为海森堡测不准原理；由此他强调在位相空间中找到粒子的概率而舍弃粒子不同的位置和动量；玻色讨论的是黑体辐射，他认为辐射是由光子构成的，同时各个光子是不能被分辨出来的，也就是不能把任何两个同能量的光子当作两个能被明确识别的光子。 玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文递予名望颇高的德国物理学刊发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论的论文，递予德国物理

8、学刊发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。,8-4 光子气体,上两节讨论的弱简并理想玻色气体（费米气体）和BEC，系统都具有确定的粒子数。,上一章利用能量均分定理讨论过平衡辐射的问题。得到的瑞利-金斯公式在低频下和实验曲线符合，高频下严重不符合；而且，辐射的经典统计理论和热力学理论不相容。本节的理论就是要解决这两个问题。,热力学主要结论（第二章）：,有限温度T 下平衡辐射总能量和热容量：,一.为什么空窖内的辐射场等价于空窖内的光子气体？,辐射场,辐射场：由各种频率的单色电磁波叠加而成,窖壁：由物

9、质（原子）构成,光是电磁波，具有波粒二象性，实验支持：,杨氏双缝干涉实验,Maxwell理论以及无数相关实验,光电效应,粒子性：,波动性：,波动观点,粒子观点,空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加：,每一个单色平面波对应 和 确定的光子,光子,单色平面电磁波,波矢 ，圆频率,色散关系：,能量动量关系：,统一观点 （德布罗意关系）,动量 ，能量,（傅立叶分解）,辐射场等价于光子气体,光子气体遵循什么统计？是玻耳兹曼、玻色还是费米统计？严格的讲，这需要将理论和实验进行对比。,二.光子气体的化学势为多少？,空窖不断的吸收和发射光子（即电磁波），光子数不守恒,只存在能量E为常数的条件,不存

10、在总光子数N为常数的条件,和热力学理论的结果相一致,*三.普朗克公式的导出-普朗克的方法,1900年，普朗克在玻耳兹曼统计的基础上，提出了能量量子化假设，导出了和实验曲线完全一致的普朗克公式。注意：他的推导方式并不十分严格，更严格的方式是1924年玻色提出的方法，但是，他提出了一个核心的观念：能量量子化。这被称为是量子力学的开端。,普朗克假设：辐射场和窖璧原子交换电磁波能量的方式是一份一份的交换的，每一份能量和电磁波频率成正比，为：,玻耳兹曼统计配分函数：,因此，辐射场的总能量实际上是由很多能量量子的叠加。,辐射场的“量子”自由度数目,则在 内平衡辐射的内能：,单振子的平均能量,四.普朗克公式

11、的导出-玻色的方法,1924年，玻色首次用此处采取的方法重新导出了普朗克公式，当时在某些人看来，他的文章似乎没有新意，爱因斯坦第一个认识到玻色想法的重要性，立刻将其推广到实物粒子，这就是后来所谓的玻色-爱因斯坦统计。,在第六章第二节中，我们利用周期性边界条件，得到：,上式已经利用了化学势为零的条件。,五.维恩位移定律,由普朗克公式，辐射场内能密度随着圆频率的分布有一极大值：,维恩（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien 1864-1928） 因发现热辐射规律维恩位移定律和建立黑体辐射的维恩公式，维恩获得1911年度诺贝尔物理学奖。,普朗克（ Max

12、Karl Ernst Ludwig Planck, 18581947 ） 德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人， 1918年诺贝尔物理学奖的获得者 。,六.光子气体的热力学量,巨配分函数 ：,这满足热力学第三定律的要求,和直接利用普朗克公式计算得到的结果完全一致,8-5 金属中的自由电子气体,一.金属的特征,原子结合成金属后，价电子脱离原子可以在整个金属内运动，形成公有电子，失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。 在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。 金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在。,如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有 的贡献，这是与实际不符的，实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。这是经典统计理论遇到的又一困难。 1928年索末菲根据费米分布成功地解决了这个问题。,二.金属中的自由电子形成强简并的费米气体,1m3内铜原子个数：,自由电子形成强简并的费米气体,三.化学势的确定,温度为T 时，处于能量 上的一个量子态上的平场电子数：,四.零温下电子气体的性质,例子：铜,例子：铜,温度为零时，