数学归纳法(上课)ppt.ppt

1、2.3 数学归纳法,问题1：在仪容仪表检查中，如何断定我们班的所有同学不戴耳环？,方法一： 检查每位同学，确认每位同学不戴耳环。,完全归纳法,方法二： 检查部分同学，确认他们不戴耳环。,不完全归纳法,定义： 由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法叫归纳法。, 用完全归纳法得到的结论正确吗？ 不完全归纳法呢？ 如果一个问题中的元素有无限多个 （如与自然数有关的命题），怎样 归纳出其结论的正确性？,：问题2：,可 靠,不可靠,不可行,可 行,问题3：多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？,（1）、第一块骨牌倒下,（2）、前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下,五彩滨纷、排

2、山倒海、令人叹为观止,（1）、第一块骨牌倒下,（2）、前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下,多米诺骨牌 数学命题证明,目标 每片骨牌倒下,要求 （1）第一片要倒下 （2）若前片倒下， 则后片也倒下,结论 由（1）（2）知 游戏成功,神奇的对比,每个n值都成立,（1） n=1时要成立 （2）若n=k时成立 则n=k+1时也成立,由（1）（2）知 命题成立,一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 由(1),(2)可知，命题对从n0开

3、始的所有正整数都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法,数学归纳法,(归纳递推) 递推的依据,(归纳奠基) 递推的基础,例1.用数学归纳法证明 证明: (1)当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 (2)假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，等式也成立 由(1)、(2)可知，当nN*时，等式都成立,步骤： 递推基础不可少，（基础） 归纳假设要用到，（依据） 结论写明莫忘掉。（结论）,例1.用数学归纳法证明 证明: (1)当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 (2)假设n=k时，等式成立，即 那么，当n

4、=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，等式也成立 由(1)、(2)可知，当nN*时，等式都成立,例2：下列等式是否成立？证明方法是否正确？为什么？,理由：因为是不完全归纳法，缺乏递推的依据，结论不可靠，即使验证 了100个正确也是不严密的。,解：等式成立。证明如下：, 135(2n1), 135(2n1)n21,解：等式成立。证明如下：,假设当n=k时等式成立，即135(2k1)k21则当n=k+1时，135(2k1)(2k1)k21(2k1) (k1)21当n=k+1时等式也成立对nN等式都成立,理由：第一步没有证明正确，缺乏递推的基础，从而假设没有根据。,强调：, 两个步骤缺一不可，因为,有第一步无第二步，就是不完全归纳法，结论就不可靠；,有第二步而无第一步，第二步中的假设就失去了基础。, 第二步的证明n=k+1成立中必须用归纳假设， 并且证明必须详细。,1、用数学归纳法证明 35(2n1)n1n1时， 第一步应验证n_时，等式成立。,思考与练习：,2,B,(2k+1)+(2k+2),2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。,小结：,今天我们学习了,1、由特殊到一般的归纳思想。,步骤： 证明当n取第一个