第3章控制系统模型与转换.ppt

1、1,控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,2,系统的分类 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描

2、述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。,3,3.1 连续线性系统的数学模型,3.11 线性系统的传递函数 一、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： 对物理可实现系统来说，必须满足mn,这种情况下又称系统为正则（proper）的。若mn，则称系统是严格正则。对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATL

3、AB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。,4,num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1 G=tf(num, den) 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。 还可以采用矩阵输入方式，即先用s=tf(s)定义传递函数算子，然后用数学表达式形式直接输入系统的传递函数。,5,例1 传递函数,6,当分子或分母为多项式的运算时，可采用conv( )函数求多项式的乘积。 例2：传递函数,7,例3：传递函数 或 s=tf(s); G=(s3+4*s2+3*s+2)/(s2*(s+1)*(s+4)2+4),8,使用set命令

4、可以获得tf( )函数的详细信息,9,若有传递函数G，也可用tfdata( )函数提取系统的分子和分母多项式。 如：上例中的G 当系统为多变量系统时，可用下面语句提取第1路输入和第1路输出的传递函数 num=G.num1,1;den=G.den1,1,10,3.1.2 线性系统的状态方程模型,线性时不变系统可以用一组一阶微分方程来描述，其矩阵形式即为现代控制理论中常用的状态空间表示法。状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,在MATLA

5、B中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示: G=ss(A, B, C, D),x为状态向量；u为输入向量；y为输出向量 A为系统矩阵；B为输入矩阵； C为输出矩阵；D为前馈矩阵；,11,例4： 系统为一个两输入两输出系统 A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0; C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2); G=ss(A, B, C, D),12,获取状态方程参数可使用ssdata( )函数。 带有时间延迟的状态方程 可使用语句： G=ss(A, B, C, D, ioDel

6、ay, ),13,3.1.3 线性系统的零极点模型,零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 其中，K为系统增益，zi为零点，pj为极点。 在MATLAB中零极点增益模型zpk( )函数表示。即： Z=z1;z2;zm P=p1;p2;.;pn G=zpk(Z, P, K) 系统G的零极点可以直接调用pzmap(G)函数显示。,14,例5： 输入该零极点模型：,15,零极点增益模型： num=1,11,30,0; den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den) ,z

7、= 0 -6 -5,p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000,k= 1,结果表达式：,16,3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型,多变量系统的状态方程可由ss( )函数输入，也可直接给出传递函数矩阵,17,例6： 其输入命令如下 或 g11=tf(0.1134,1.78,4.48,1); g12=tf(0.924,2.07,1); g21=tf(0.3378,0.361,1.09,1); g22=tf(-0.318,2.93,1); G=g11,g12;g21,g22； G.ioDelay=0.72,0;0.3,1.29,18,3

8、.2 离散系统模型,3.2.1 离散系统传递函数模型 可以用tf( )函数输入。 num=b0,b1,bn-1,bn; den=1,a1,a2,an; H=tf(num, den, Ts,T); 其中，T为时既采样周期。 也可定义算子z=tf(z,T),然后用数学表达式形式输入传递函数。,19,例7：离散系统传递函数为 其采样周期T=0.1s,则输入命令为,20,Notice:该模型还可用 z=tf(z,0.1); H=(0.31*z3-0.57*z2+038*z-0.088)/ (z4-3.23*z3+3.98*z2-2.22*z+0.47) 若将离散系统的传递函数分子和分母同时除以zn,则

9、系统可变换为 用q取代z-1,则有,21,对于这种多用于表示滤波器的形式，其输入命令有 num= bn, bn-1, , b1, b0; den=an, an-1, , a1, 1; H=tf(num, den, Ts,T, Variable, q); 例8： 输入采用如下语句 z=0.67+0.35i; 0.67-0.35i; 0.48; p=0.85+0.18i; 0.85-0.18i; 0.75+0.19i;0.75-0.19i; H=zpk(z, p, 1, Ts, 0.1),22,3.2.2 离散状态方程模型,离散系统的状态方程 可用ss( )函数输入，即 H=ss (F, G, C

10、, D, Ts, T) 若系统带有时间延迟 则其输入语句为 H=ss (F, G, C, D, Ts, T, ioDelay, m),23,3.3 框图描述系统的化简,3.3.1 控制系统的典型连接机构 串联 系统模型由G=G2*G1求出。,24,b) 并联 系统模型由G=G2+G1求出。,25,c) 反馈 但这样得出的模型阶次可能高于实际的阶次，需要用minreal( )函数求取得出模型的最小实现形式。或：,26,a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。 a,b,c,d=feed

11、back(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign) 系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign= -1。总系统的输入/输出数等同于系统1。,系统2,27,num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。 G=feedback(G1,G2),28,例9：考虑下图的系统框图，试求系统的总模型,Y(S),29,例10：上例的反馈系统，假设受控

12、对象模型为双输入、双输出的状态方程模型控制器为传递函数矩阵，为对角矩阵，其子传递函数为g11(s)=(6s+2)/s，g22 (s)=(3s+5)/s，反馈环节为单位矩阵，试求系统模型。,30,思考题： 1）exp3_2.m 系统1为： 系统2为： 求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。,31,3.3.3 节点移动的等效变换,1、分支点等效移动规则,前向移动节点,后向移动节点,32,(1) 相加点前移,2、相加点等效移动规则,相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,(2) 相加点后移,相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数

13、方框。,33,34,35,注：以上语句要调用自定义feedback( )函数 function H=feedback(A,B,key) if nargin=2;key=-1;end H=A/(sym(1)-key*A*B);H=simple(H); 将其放置在work目录下的sym子目录，则可以直接处理符号模型的化简问题。,36,3.3.3 纯时间延迟环节的处理,对于带有时间延迟的模块G1(s)和G2(s)，若两模块串联，则系统模型是两个模块的延时相加。但当两模块并联时，要求其延迟必须相同。若不同，可先对模块进行近似，将纯时间延迟近似为高阶有理式。 作者编写了paderm( )函数（见附录1）

14、 num,den=paderm(T, r, m) 其中，T为延迟时间常数，r，m分别为近似传递函数分子和分母的阶次。,37,完全近似： 分母近似： 注：分母近似比完全近似的结果更加精确。,38,例12：假设系统的开环传函为 且整个系统为单位负反馈结构构成，试选择分子0阶、分母2阶的Pade近似，其闭环系统模型为,39,3.4系统模型的相互转换,3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换 如果连续系统由传函给出，可用s=2(z-1)/(T(Z+1)代入连续系统的传函模型，获得离散系统的传递函数模型。在MATLAB中，可采用c2d( )函数将系统离散化。 格式：Gd=c2d(G, Ts),40,例1

15、3：多变量系统模型如下，假设采样周期T=0.1s，求离散化的状态方程。,41,42,例14：假设连续系统的数学模型为 采样周期T=0.1s，求离散化的状态方程。 G=tf(1,1 3 3 1,ioDelay,0.5); G1=c2d(G,0.1,zoh) %零阶保持器变换 Transfer function: 0.0001547 z2 + 0.000574 z + 0.0001331 z(-5) * - z3 - 2.715 z2 + 2.456 z - 0.7408 Sampling time: 0.1,43, G2=c2d(G,0.1,foh) %一阶保持器变换 Transfer func

16、tion: 3.925e-005 z3 + 0.0004067 z2 + 0.000383 z + 3.278e-005 z(-5) * - z3 - 2.715 z2 + 2.456 z - 0.7408 Sampling time: 0.1 G3=c2d(G,0.1,tustin) %Tustin变换 Transfer function: 0.000108 z3 + 0.0003239 z2 + 0.0003239 z + 0.000108 z(-5) * - z3 - 2.714 z2 + 2.456 z - 0.7406 Sampling time: 0.1,44,由离散系统变换连续系

17、统，可代入 z=(1+sT/2)/(1-sT/2)。 在MATLAB中可采用d2c( )函数。 例15：采用d2c( )函数还原例13中的连续系统。, A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6; B=1 0;2 -1;0 2;C=1 -1 0;2 1 -1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); T=0.1;Gd=c2d(G,T); G1=d2c(Gd) a = x1 x2 x3 x1 4.025e-015 1 7.98e-016 x2 -1.804e-015 -1.527e-015 1 x3 -6 -11 -6 b = u1 u2 x1 1 -5.204e-017

18、x2 2 -1 x3 -5.551e-016 2 c = x1 x2 x3 y1 1 -1 0 y2 2 1 -1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model.,45,3.4.2 系统传递函数的获取,已知系统的状态方程，可通过tf( )函数获得系统的传递函数。 例16：已知例13中的系统状态方程，求其传递函数。, A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=1 0;2 -1;0 2; C=1 -1 0;2 1 -1; D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D); G1=tf(G) Transfer function from i

19、nput 1 to output. -s2 - 4 s + 29 #1: - s3 + 6 s2 + 11 s + 6 4 s2 + 56 s + 52 #2: - s3 + 6 s2 + 11 s + 6 Transfer function from input 2 to output. s2 + 3 s - 4 #1: - s3 + 6 s2 + 11 s + 6 -3 s2 - 17 s - 14 #2: - s3 + 6 s2 + 11 s + 6,46,3.4.3 控制系统的状态方程实现,系统的状态方程可由ss( )函数实现。 例17：系统传函为 试将其转换为状态方程形式。 g11=

20、tf(0.1134,1.78,4.48,1); g12=tf(0.924,2.07,1); g21=tf(0.3378,0.361,1.09,1); g22=tf(-0.318,2.93,1); G=g11,g12;g21,g22； G.ioDelay=0.72,0;0.3,1.29 G1=ss(G),47,3.4.4 状态方程的最小实现,当系统存在相同的零极点时，可以进行对消，完全对消相同零极点的形式称为系统的最小实现。 如： 最后得到的一阶模型G(s)=5/(s+4)，即为系统的最小实现。在MATLAB中，可采用minreal( )函数获得。,48,A=-6 -1.5 2 4 9.5;-6

21、 -2.5 2 5 12.5;-5 0.25 -0.5 3.5 9.75;-1 0.5 0 -1 1.5;-2 -1 1 2 3; B=6 4;5 5;3 4;0 2;3 1; C=2 0.75 -0.5 -1.5 -2.75;0 -1.25 1.5 1.5 2.25; D=0 0;0 0; G=ss(A,B,C,D);G1=minreal(G),49,3.5 线性系统的模型辨识,3.5.1 连续系统的模型辨识 用数值分析的手段，根据系统输入输出的实测数据，构造其数学模型的方法称为系统辨识。 对给定的离散频率采样点 若已知系统的频率响应为Pi，Qi， ，而连续系统传递函数为,50,其中， （1

22、） 则可以用下面几个表达式定义中间数值 （2）,51,引入拟合的性能指标 式中 e(jk)=G(jk)-G(jk)为频率拟合的误差， G(jk)为辨识出来的模型计算出的频率响应数据,D(jk)为加权系数。若对性能指标取导数 （3） 则获得性能指标J的最小值。由式（3）可推导出线性代数方程 （4）,52,式中 = 可见，有了式（2）中定义的各个参数后，待辨识系统的传函可通过求解方程（4）获得。,53,MATLAB信号处理箱中，提供了辨识系统传函模型的invfreqs( )函数： num,den=invfreqs(H,w,nn,nd) 其中，H为频域响应数据，w为离散频率点构成的向量，nn和nd分

23、别为待辨识系统的分子和分母阶次。如果给出系统的幅频mag和相频响应数据phase，则可以由下面的方式来调用invfreqs( )函数 num,den=invfreqs(mag.*exp(sqrt(-1)*phase),w,nn,nd) 例18：系统的频域响应已知(见教材p100表3-1)，且传函模型的分子、分母阶次分别为3和4，求其系统的传函。 w=0.01,0.0374,72.79,100; H=0.9999-0.01083i,0.9998-0.01488i,0.0002989-0.009981i; B,A=invfreqs(H,w,3,4);G1=tf(B,A),54,3.5.2 离散系统

24、的模型辨识,离散系统的传递函数可写为 其对应的差分方程为,对测出的各组输入和响应数据，可写为下面的矩阵形式,即 YM=XM,(5),55,这样得出的系数矩阵一般情况下有Mn，故该方程为超定方程，可用最小二乘法求解,此外，MATLAB的系统辨识工具箱还提供了各种系统辨识函数，ARX（Auto-Regressive exogenous, 自回归遍历）模型，可采用arx( )函数实现 T=arx(y, u,m, n, d) 其中，y、u分别为输出、输入信号列向量；m、n分别为系统分子、分母多项式阶次；d为纯滞后；T为一个结构体，T.A和T.B分别表示辨识出的分母和分子多项式。,(6),56,下面分别

25、用两种方法辨识系统参数。,例19：系统的实测输入/输出数据（教材p102表3-2），系统分子和分母的阶次分别为3、4。 利用式(5)、(6)辨识系统参数 y=0, 0.1374, 0.2978，., 3.3669, 3.4131; u=0.4398, 0.3400, 0.3142,., 0.5527, 0.4001, 0.1988; Phi=0;y(1:end-1) 0;0;y(1:end-2) ,. 0;0;0;y(1:end-3) 0;0;0;0;y(1:end-4),. 0;u(1:end-1) 0;0;u(1:end-2),. 0;0;0;u(1:end-3) 0;0;0;0;u(1:

26、end-4); T=Phi y; T; Gd=tf(T(5:8),1, -T(1:4), Ts, 0.1),57,试采用arx( )函数辨识系统参数 先输入y,u列向量，然后直接调用arx( )函数 y=0, 0.1374, 0.2978,3.3669, 3.4134; u=0.4398, 0.34,0.4001, 0.1988; t1=arx(y,u,4,4,1) Notice:要确定准确的采样信息，可采用iddata( )函数创建数据对象。然后调用arx( )函数。 U=iddata(y, u, 0.1); T=arx(U,4, 4, 1); H=tf(T); G=H(1) %H为双输入传

27、函矩阵，H(2)是由误差信号(k)到输入的传函。,58,另：输入和输出数据的精确性，对于辨识系统的准确性影响很大。 y=0, 0.1374, 0.2978, 1.576, 1.743, 1.979, 2.33, 2.734, 2.965, 3.109, 3.402, 3.508, 3.673, 3.921, 4.099, 4.327, 4.296, 4.205, 4.244, 4.171, , 3.146, 3.288, 3.367, 3.413; u=0.4398, 0.34,0.4001,0.1988; Transfer function: 0.312 z3 - 0.4151 z2 + 0

28、.1892 z - 0.01747 - z4 - 2.723 z3 + 2.64 z2 - 1.014 z + 0.1068 输入、输入数据保留小数点后4位时，辨识系统的传函为 Transfer function: 0.3126 z3 - 0.581 z2 + 0.3955 z - 0.09168 - z4 - 3.254 z3 + 4.04 z2 - 2.266 z + 0.4854,59,3.5.3 离散系统辨识信号的生成,idinput( )函数可生成指定的输入信号。 如：u=idinput(N,rgs ) %生成N个点的Random, Gaussian Signal。 例20：生成31

29、个点的PRBS信号,u=idinput(31,PRBS)； %生成31个PRBS(pseudo-random binary sequence)信号。 t=0:.1:3; stairs(u), set (gca, Xlim, 0,31,Ylim,-1.1 1.1) %gca获得当前坐标轴句柄,60,利用上述信号，可获得指定系统的输入和输入数据。 num=0.3124 -0.5743 0.3879 -0.0889; den=1 -3.233 3.9869 -2.2209 0.4723; G=tf(num,den,Ts,.1); t=0:.1:3; u=idinput(31,PRBS)； y=lsi

30、m(G,u,t); % LTI(linear time invariable 线性时不变)系统在给定输入下的时间响应。 T1=arx(y,u,4 4 1) Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = 1 - 3.233 q-1 + 3.987 q-2 - 2.221 q-3 + 0.4723 q-4 B(q) = 0.3124 q-1 - 0.5743 q-2 + 0.3879 q-3 - 0.0889 q-4 Estimated using ARX Loss function 3.2187e-030 and FPE 5.45779e-030 Sampling interval: 1,61,3.5.4 多变量离散系统的辨识,p路输入、q路输出的多变量系统的数学模型的差分方程为,其中，A(z-1)和B(z-1)均为pq多项式矩阵。,arx( )函数还可用于多变量系统的辨识，并可以直接辨识系统的A、B矩阵。 例21：设系统的传函为,由PRB