河南理工大学《工程力学》课件7 杆类构件的应力分析与强度计算

1、,工程力学,第七章 杆类构件的应力分析与强度计算,第七章 杆类构件的应力分析与强度计算,7-4 应力集中的概念,7-1 应力的概念,一、应力的概念,构件截面上的内力分布集度，称为应力。,若想求受力构件某一截面m-m上的M点处的应力，可在M点周围取微小面积A,A上分布内力的合力为F ，于是在A上内力的平均应力为：,总应力 p,法向分量,正应力s,背离截面的正应力为正，指向截面的正应力为负。,切向分量,切应力t,对截面内的一点产生顺时针方向力矩的切应力为正，反之为负。,应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。,该截面上M点处分布内力的集

2、度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,7-2 轴向拉伸与压缩时杆件 的应力强度条件,一、拉（压）杆横截面上的应力,1、变形现象,(1) 横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;即 通常所说的平面假设。,(2) ab和cd分别平行移至ab和cd , 且伸长量相等.,结论：每条纵向纤维的力学性能相同，其受力也应相 同，因此横截面上的正应力是均匀分布的 .,2、等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,式中， FN 为轴力，A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力FN 的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号， 称为拉应力 ;,当轴力为负号时（压缩），正应力也为

3、负号， 称为压应力 .,例7.1 已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所示，F=10KN， F=20KN ， F=20KN 。试求直杆各段的正应力。,解：(1) 作轴力图,(2) 应力计算：,式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。,二、拉（压）杆斜截面上的应力,1、斜截面上的应力,以 p表示斜截面 k - k上的应力，于是有:,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的剪应力 ,将应力 p分解为两个分量：,2、符号的规定,从x轴逆时针转到a截面的外法线n时,a为正值， 反之为负值。,(1)当 = 00 时，,(2) = 450 时，,讨 论,三、强度计算,拉压杆正

4、常工作时的强度条件可表示为：,其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。,根据强度条件可以解决工程中的三类强度问题, 强度校核, 设计截面, 确定许可载荷,解：杆件横截面上的正应力为:,因为,所以满足强度校核。,解： （1）分析受力，受力图如图所示。,解得：,（2）计算各杆的许可载荷。,对BC杆，根据强度条件,解得：,所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：,对AC杆，根据强度条件,解得：,7-3 材料的力学性能,一、材料在拉伸时的力学性能,常温: 室内温度,静载: 以缓慢平稳的方式加载,标准试件：采用国家标准统一规定的试件, 试验条件,试验设备及工具,

5、万能材料试验机,游标卡尺,低碳钢在拉伸时的力学性能,低碳钢拉伸时的应力-应变曲线图:,Ob 段:弹性阶段,当外力撤消以后产生的变形能够完全恢复。,比例极限,弹性极限,Oa 段:比例阶段,应力应变完全成正比,满 足胡克定律。,bc 段:屈服阶段,载荷在小范围内波动,基本不变,而变形明显增加材料暂时失去了抵抗变形的能力,开始产生塑性变形。,光滑试件表面出现与轴线大致成450的条纹线。,c点:上屈服点,d点:下屈服点,yield,Slide-line,de 段:强化阶段,试件恢复了抵抗变形的能力,产生的变形绝大多数为塑性变形。,强度极限,ef 段:局部变形,试件某一局部突然向里收缩,出现颈缩现象。,

6、延伸率:,截面收缩率:,5,5,塑性,脆性,低碳钢是典型的塑性材料,冷作硬化,退火可以消除,卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线变化。,2.其他塑性材料拉伸时的力学性能,对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用0.2来表示。,3.铸铁在拉伸时的力学性能,在较小的力作用下就被突然拉断,产生的变形很小可以忽略。,没有屈服和颈缩现象,只能测出,铸铁是典型的脆性材料,二、材料在压缩时的力学性能, 试验试件,短圆柱,低碳钢压缩时的-曲线,低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面

7、面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。,铸铁压缩时的-曲线,铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450 550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍。,7-4 应力集中的概念,由于构件形状尺寸的突变，引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。,K是应力的比值，与材料无关，它反映了杆件在静载荷下 应力集中的程度，是一个大于1的因数。,7-5 圆轴扭转时的应力强度条件,一、切应力互等定理,1、变形现象,2、平面假设,圆轴扭转前为平面的横截面，变形后仍保持为平面， 就象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动，形状和大小不变， 半径仍保持为直线，此假设称为

8、平面假设。,3、推论,（1）因两任意圆周线间的距离不变，故圆轴横截面上 没有正应力存在；,（2）因垂直于半径的小方格发生了相对错动，故圆轴 横截面上必然存在切应力，且其方向垂直于半径。,4、切应力互等定理,假设在圆轴的表面处用横截面、 径向截面以及与表面平行的面截取 一微小的正六面体,根据平衡条件，有,由此得：,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无 正应力的这种状态，称为纯剪切应力状态。,单元体两个相互垂直平面上的 切应力同时存在，且大小相等，都 指相（或背离）该两平面的交线。,二、剪切胡克定律,对于纯剪切应力状态的单元体， 在切应力 的作用下，单元体的直 角要发生微小改变，这个直角的

9、 改变量 称为切应变。,大量的试验结果表明：若应力不超过一定的限度， 对于只承受纯剪切的单元体，切应力与切应变之间 存在正比关系:,G为材料的切变(剪切)模量，单位为帕（Pa） 。,三、圆轴扭转时横截面上的应力,1、变形几何关系,可以求得距圆心为处的切应变为：,2、物理关系,由剪切胡克定律,同一圆周上各点剪应力 均相同 ， 且其值与 成正比， 与半径垂直。,3、静力学关系,令：,IP 为横截面对形心的 极惯性矩,则：,或：,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式:,横截面周边上各点处( = R)的最大切应力为:,引入:,式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。,4、

10、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,四、强度条件,此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即：,同拉伸和压缩类似，利用强度条件可以进行三类强度计算。,例题7.4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,3. 校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,

11、max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。,7-6 梁的弯曲应力强度条件,一、纯弯曲,在AC和DB段，梁的横截面既有弯矩，又有剪力，这种情况称 为横力弯曲（剪切弯曲） 。,在CD段内，梁的横截面上 剪力为零，而弯矩为常量，这 种情况称为纯弯曲。,梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。,二、梁在纯弯曲时的正应力,1、变形几何关系,作如下假设： 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后 的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉 或受压状态。, 中性层,中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。,中性轴：横截面与中

12、性层的交线。,纵向线bb变形后的长度为:,bb 变形前的长度等于中性层,纵向线bb的应变为,即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。,中性层长度不变, 所以,2、物理关系,因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的 正应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M,，,即：,由:,z 轴通过形心,即：中性轴通过形心。,由:,因为y轴是对称轴，上式自然满足。,EIz 梁的抗弯刚度,将上式代入,由:,将弯矩M和坐标

13、y按规定的正负号代入，所得到的正 应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性 层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。,若截面是高为h宽为b的矩形，则：,若截面是直径为d的实心圆截面，则：,若截面是外径为D,内径是d的空心圆截面，则：,当梁上有横向力作用时,横截面上既又 弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。,横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横

14、向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算 横力弯曲时横截面上的正应力。,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,三、梁在横力弯曲时的正应力,四、梁的正应力强度条件,等直梁的最大正应力发生在最大弯矩所在的 横截面上距中性轴最远的各点处，因此建立梁 的正应力强度条件为：,即梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力,上式仅适用于许用拉应力与许用压应力相同的梁， 如低碳钢。但对于铸铁等脆性材料，它们的许用拉应 力低于许用压应力 ，则应按许用

15、拉应力与许用压应 力分别进行强度计算。,例7.5 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面 为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。,已知材料的许用应力,，,解：作弯矩图,危险截面在梁的中点，其值为,根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：,例7.6 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为c =160MPa 。已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。,F1=9kN,F2=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,F2=4kN,B截面,C截面,解:,7-7 提高构件强度的措施,弯曲正应力是控

16、制梁的强度的主要因素。 弯曲正应力强度为：,从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax 和提高抗弯截面系数Wz。,一、合理配置梁的支座和载荷,1、合理安排梁的支座,若将支座向中间移动0.2l, 最大的弯矩为原来的1/5,2、合理布置载荷,当集中载荷位置不受限制时，可尽量地靠近支座， 这时梁的最大弯矩将比载荷作用在梁中间位置小得多。,将载荷分解成几个大小相等，方向相同的集中 载荷或均布载荷，梁内的弯矩也将显著减小。,二、选择合理的截面形状,根据强度条件可知，要想提高梁的强度, Wz越大越好， 但是，另一方面，截面面积A越小，越经济，越轻巧，因 而合理的截面形状应该是用Wz/A的比值来衡量截面形状 的合理性和经济性。比值Wz/A越大，则截面的形状比较 经济合理。,几种截面的Wz/A比值,从表中可以看出，工字钢或槽钢比矩形截面经济合理， 矩形截面比圆形截面合理。工程中，桥式起重机的大梁， 以及其他钢结构