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文档简介

1、全等三角形中的截长补短问题,.,已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180,图1-1,证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2图1-2 BD平分ABC，DE=DF， 在RtADE与RtCDF中， RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.图2-1 又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180， 即BAD+BCD=180,图1-2,已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD. 求证：BAP+BCP=180.,图3-1,分析：与例1相类似，证两个角的和是180，可

2、把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.图3-1 证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2 1=2，且PDBC，PE=PD， 在RtBPE与RtBPD中，图3-2 RtBPERtBPD(HL),BE=BD. AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在RtAPE与RtCPD中, RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD 又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180,图3-2,已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12. 求证：AB=AC+CD.,图4-1,分析：从结

3、论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC. 证明：方法一（补短法）图4-2 延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2 ACB2E， ACB2B，BE， 在ABD与AED中, ABDAED（AAS）,AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.,图4-2,方法二（截长法）图4-3 在AB上截取AF=AC，如图4-3 在AFD与ACD中, AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD. 又ACB2B，FDBB，FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路

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