高数1-3-1极限的四则运算法则

1、第一章,第三节,极限运算,一、 极限的四则运算法则,三、 两个重要极限,四、无穷小的比较,二、 复合函数的极限运算法则,一、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由无穷小之和仍无穷小，可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 1 . 若,定理 2 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),证:,例1.求,例2. 设 n 次多项式,试证,证:,1.多项式型,为无穷小,定理 3 . 若,且 B0

2、 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,注 1.以上结论均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;,2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.,定理,例4. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,若,例3.求,2.分母极限不为0型,例如.,x = 3 时分母为 0 !,例5.,分子也为0,3. 型,约去公因子,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例6,约去公因子法也不能用,4.利用无穷小、无穷大运算性质求极限,但因,解: (4)x = 3 时,分母 =

3、0 , 分子0 ,但因,解: (3)x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,例7,解,例8求,解: 原式,(消去零因子法),5.,例9 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,(无穷小因子分出法),为非负常数 ),一般有如下结果：,=0,6. 型,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.,定理4 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,解,例10,原式,=,=,=,=,2,7.无穷项之和,不能用和的极限运算法则,例11,解,左右极限存在且相等,8.利用左右极限求分段函

4、数极限,二、 复合函数的极限运算法则,例12 . 求,解: 法1,时,则,法2,时,则,换元法：将原式中的x都用u代替，将关于x的极限过程改为关于u的极限过程。,定理5. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理5. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例13. 求,解: 令,已知, 原式 =,例14 . 求,解: 法 1,则,令, 原式,法 2,时,时,例15：设,(n=1,2,)，,试证数列 极限存在，并求此极限。,证：由,及,知,设对某正整数k有,则有,故由归纳法，对一切正整数n，都有,即,为单调减少数列，且,解得,所以,例16,设,，证明,存在并求此极限；,证明:,(2) ,消去零因子法,1. 极限四则运算法则,2. 求函数极限的方法,(3) 对,型 , 约去公因子,分子分母同除分母最高次幂,Th1,Th2,Th3,Th4,总结,作业P33习题1-3中第1题,(4) 型,(无穷小因子分出法),(5)无穷项之和,变形后求极限,(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限,(7)利用左右极限求分段函数极限,(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限,(8) 复合函数极限求法,设中间