概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第五章 2012.ppt

1、1,第五章,大数定律与中心极限定理,一、大数定律,二、中心极限定理,2,本章是关于随机变量序列的极限理论。,目的是从理论上对第一章中提出的“频率的,稳定性”给出严格的数学证明。,大数定律：对于随机变量序列,描述其平均值,在什么条件下以什么形,式呈现出稳定性。,3,中心极限定理：对于随机变量序列,其部分和,在什么条件下以正态分布为极限,分布。,4,大数定律,第五章,第一节,一、 切比雪夫Chebyshev不等式,二、几个常见的大数定律,5,定义1,6,请注意 :,7,或,不等式,成立，,则称此式为切比雪夫不等式。,存在，则对任意,证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为,设随机变量X 的数

2、学期望,命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）,8,则,注：Chebyshev不等式对随机变量在以,的一个邻域外取值的概率给出了一个上界,为中心,9,可见D(X) 越小，事件,的概率越接近1。,X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。,据此进行的概率估计虽然精度不是很高（所得结果比较保守），但它的最大优点是这种估计在不知道分布的情况下也可进行，相对而言有较宽的适用面。,10,例如：对未知分布X，取,若,11,例1 一电网有1万盏路灯，,晚上每盏灯开的概率为0.7.,求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?,解 设X 为同时开的灯数。,用切比雪夫不等式,12,已知正常男性成人

3、血液中，每一毫升白细胞数,解 设每毫升白细胞数为X,依题意，EX =7300,DX =7002,所求为,由切比雪夫不等式,估计每毫升白细胞数在 52009400 之间的概率 .,平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式,例2,即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。,13,大数定律的客观背景,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,14,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,则,即对任意的 0，,设 X1 , X2 , 是一列相互独立的随机变量序列，,它们都有相同的数学期望,证明,15,由切比雪

4、夫不等式得：,所以,其取值接近于其数学期望的概率接近于1.,当n充分大时，,差不多不再是随机的了，,注：,16,定理2（辛钦定律）,辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要,独立同分布就可以了。,17,定理3（伯努利大数定律）,证明 引入随机变量,18,显然,且,又由于各次试验相互独立，所以,独立同分布,则由辛钦大数定律可得,19,其中切比雪夫大数定律说明了平均值具有稳定性；伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频率稳定于概率的事实；而辛钦大数定律则说明在实际问题中“平均数法则”的合理性。,大数定律的本质特征是：大量独立随机变量在变化过程中，它们的算术平均值，在n充分大时将依概率收敛于一个

5、确定的常数。,此外，大数定律是数理统计中参数估计的理论基础，为以样本特征去推断相应总体特征提供了理论依据。,20,例如要估计某地区的平均亩产量。要收割某些具有代表性的地块，例如n 块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计。,大数定律为寻找随机变量的数学期望提供了一条实际可行的途径。,21,例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？,解 在相同的条件下测量n 次，其结果为,，它们可看成是相互独立、相同分布的,随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律,可知，当,时，有,因此我们可取 n 次测量值,的算术平均值,作为a 得近似值，即,当n充分大

6、时误差很小。,22,例4 如何估计一大批产品的次品率 p ？,由伯努利大数定律可知，当 n 很大时，可取频率,作为次品率 p 的估计值。,23,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,24,作 业,P126127 习题5.1 2，7,25,中心极限定理,第五章,第二节,中心极限定理:,研究在适当的条件下，独立随机变量,部分和 的分布收敛于正态分布的问题。,26,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响。,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受到许多随机因素的影响。如：,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。,瞄准时的误差；

7、,空气阻力所产生的误差；,炮弹或炮身结构所引起的误差等等。,27,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。,观察表明，如果一个随机变量受到大量相互独立的因素共同影响，且没有一个因素起主导作用，那么这种随机变量往往服从或近似服从正态分布。,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。我们只讨论几种简单情形。,28,定理1（独立同分布的中心极限定理）,且具有相同的期望和方差,则对任意实数x,有,设 为一列独立同分布的随机变量，,即,，或,29,例1 某人要测量甲、乙两地之间的距离。,限于测量,工具，分成 1200 段独立测量。,每段测

8、量误差（单位,厘米）服从于（-0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误,差的绝对值超过20厘米的概率。,解 设第k 段的测量误差为,且,是独立同分布的随机变量。且,30,累计误差即总距离误差为,由定理1可得,31,根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi 独立，,16只元件的寿命的总和为,解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000,依题意，所求为P(Y 1920),例2,由于E(Y

9、 )=1600,D(Y )=160000,由中心极限定理,近似N (0,1),32,1-,下面介绍定理1 的特殊情况。,33,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace,设随机变量 服从参数为,的二项分布,则对任意的x ，有,即,或,34,所以,其中,相互独立，且都服从（0-1）分布。,由独立同分布的中心极限定理可得,证 因为,35,棣莫佛拉普拉斯定理指出二项分布的极限分布 为正态分布。,高尔顿板可以看作是伯努利试验的实验模型。如,果我们把小球碰到钉子看作一次实验，而把从左边落下,伯努利试验。小球从顶端到底层共需要经过n排钉子，,这就相当于一个n次伯努利试验。小球的高度曲

10、线也,就可以看作二项分布随机变量的概率分布函数。因此，,中心极限定理解释了高尔顿板小球累积高度曲线为什么,是正态分布独有的钟形曲线。,算是成功，从右边落下看作失败，就有了一次p=0.5的,36,推论：,设随机变量,当n充分大时有：,这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。,37,例题 某校有学生5000人，有一个开水房，由于每天 傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象， 为此校学生会特向学校总务处提议增设水龙头。 如经调查，发现傍晚5点每个学生一般有1的时间 要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，请问：1未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？2需至少要装多少个水龙头，才能以95以

11、上 的概率保证不拥挤？,38,解 1. 设学生同时用水龙头数为X，则,我们采用近似计算,拥挤的概率竟达到0.7611。,1未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？,由德莫佛-拉普拉斯定理得,39,解 2. 要求m，使得 即,查表得,故需要装62个水龙头。,由单调性可求得,2需至少要装多少个水龙头，才能以95以上 的概率保证不拥挤？,40,问题的变形：,1需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的 概率保证不拥挤？ 2若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件 不变,1,2两问结果如何？ 3若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其 余的条件不变，则1，2两问结果如何？,41,例3 报童沿街向行

12、人兜售报纸，假设每位行人买报,的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童,向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。,解 设报童卖掉报纸的份数为X ，,42,例4 有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实,际工作时间占全部工作时间的80，求下列事件的,概率。,1、任一时刻有7086台车床工作。,2、任一时刻有80台以上车床工作。,解 设任一时刻工作的车床台数为X 。,43,例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间,要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独,立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以,上的概率保证分机用外线时不等待？,解 设有X 部分

13、机同时使用外线，则有,设有N 条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理得,其中,44,故 N 应满足条件,45,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,一加法器同时收到20个噪声电压,服从均匀分布，记,求 PV 105 的近似值。,例6,解,由定理1 知,46,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它表明，在相当一般条件下，当独立随机变量个数增加时，其和的分布趋于正态分布。,这一事实阐明了正态分布的重要性。揭示了为什么在实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布的源泉。所以很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线。另外，它提供了计算独立随机变量和的近似概率的简单方法。,47,例7 利用 契比雪夫不等式, 中心极限定理,分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面,向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。,解,设 X 表示正面出现的次数（n 次试验）, 利用契比雪夫不等式,48,由契比雪夫不等式,所以, 利用中心极限定理,49,因为,由德莫佛-拉普拉斯定理得,50,切比雪夫不等式得到的下界是比较粗糙的。但由于其要求低，因而在理论和实际中仍有许多应用。,结果表明，用切比雪夫不等式进行的概率估计所需试验次数比利用中心极限定理的结果要多。,？,51,正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测