概率论与数理统计31.ppt

1、,第 三 章,多维 随机变量及其分布,在实际问题中, 试验结果有时需,同时用两个或两个以上的 r.v.来描述.,例如 用温度和风力来描述天气,情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的,之间的联系, 就需考虑多维 r.v.及其取,测定来研究钢的成分. 要研究这些 r.v.,值规律多维分布.,3.1 二维随机变量及其分布,定义 设为随机试验的样本空间，,则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量,3.1,二维随机变量的联合分布函数,定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对,定义了一个二元,实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即,(记为

2、),的概率,实数( x , y ), 事件,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v.,(X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),联合分布函数的性质,(x, y),F性质,固定 x , 对任意的 y1 y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),F (b,d) F (b,c) F (a

3、,d) + F (a,c) 0,事实上, F (b,c), F (a,d),+ F (a,c),F (b,d),例1,设,讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？,解,x+ y = 1,故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.,例1,注意 对于二维 r.v.,(a,c),(a,+),(+,+),(+,c),二维随机变量的边缘分布函数,例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2),例2,解 (1),(2),(3),可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的 概念推广

4、到 n 维 r.v.及其联合分布函 数与边缘分布函数,定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.,要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布,离散,联合分布律,设( X ,Y )的所有可能的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律,显然，,二维离散 r.v.的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,反之, 由分布函数也可求出其联合分布律,二维离散 r.v.的边缘分布律,由联合分布可确定边缘分

5、布,其逆不真.,x1 xi,( X ,Y ) 的联合分布律,1,x1 xi,联合分布律,及边缘分布律,的求法, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,例3 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数.,解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.,求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.,例3,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/

6、3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,例4 二元两点分布,p j,pi,1 0,1 0,p q,p q,1,p + q = 1 ，0 p 1,例4,二维连续 r.v.及其概率特性,定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.,连续,联合密度与联合分布函数的性质,除 d.f. 的一般性质外还有下述性质,从而有,f 性质,P( X = a ,- Y + )

7、= 0,P(- X + , Y= a ) = 0,若G 是平面上的区域，则,边缘分布函数与边缘 d.f.,例5 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 边缘 d.f. 与边缘分布函数.,例5,解 令,(1),(2),0.5,(3) 由联合d. f. 求边缘d. f.,常用连续型二维随机变量分布,G 是平面上的有界区域, 面积为 A,若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布,常见连续分布,则 G1 G, 设G1的面积为A1,若( X ,Y )服

8、从区域G上的均匀分布,边平行于坐标轴的矩形域上的均匀 分布的边缘分布仍为均匀分布,例6 设(X ,Y ) G 上的均匀分布,f ( x, y ); P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.,例6,求,解 (1),(2),(3),若r.v.( X ,Y ) 的联合为,则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),其中1,20, -1 1 .,二维正态分布,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,正态分布的边缘分布仍为正态分布,正态分布性质2,正态性质2,设(X,Y )为二维

9、r.v. 若对任何,则称 r.v. X 和Y 相互独立,实数 x, y 都有,3.3,定义,由定义知,二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立,X与Y 独立,即,连续型,二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布,对一切 i , j 有,离散型,X与Y 独立,对任何 x ,y 有,设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服,问题,从同一分布, 是否有 X = Y ？,为简单计不妨假设,-1 1,-1 1,0.25 0.25,0.25 0.25,0.5 0.5,0.5,0.5,由X ,Y 独立性,问题,故不能说 X = Y .,由上表易得:,（即使概率为1的事,件

10、未必是必然事件）,证,对任何 x, y 有,取,X与Y 相互独立,正态分布性质3,(必要性),正态性质4,故,充分性 将,代入,即得,例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,例1,解,(1) 由图知边缘 d.f. 为,显然，,故 X ,Y 相互独立,(2) 由图知边缘 d. f. 为,显然，,故 X ,Y 不独立,判独立的一个重要命题,设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立.,即,独立 r.v.的连续函数仍独立.,若 X ,Y 为相互独立的 r.v.

11、,则a X + b, cY + d 也相互独立；,X 2, Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立,由命题知,算出罪犯的身高. 这个公式是,公安人员根据收集到的 罪犯脚印，通过公式,由脚印估计罪犯身高,如何推导出来的?,估身高,显然，两者之间是有统计关系的，故,设一个人身高为 ,脚印长度为 .,由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故,应作为二维随机变量 来研究.,由中心极限定理知 可以近似看,成服从二维正态分布,其中参数 因区域、,民族、生活习惯的不同而有所变化 ，,但它