《现代控制理论基础》ch3线性控制系统的能控性和能观测性

1、2020年7月17日5: 36，1。线性连续时不变系统的可控性；可观察性双重原则；SISO与可控和可观测线性系统的可观测性之间的关系：第三章线性控制系统的可控性和可观性；2020年7月17日5:36；2.能控性和能观性状态方程：描述输入引起的状态变化。输入可以控制状态(控制问题)，输出方程：描述状态变化引起的状态变化是否可以通过输出反映出来(估计问题)。背景：2020年7月17日5: 36，3。可控性：指外部输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的影响。u(t)控制的状态是可控的，不受u(t)控制的状态是不可控的。2020年7月17日5: 36，4表示通过系统的输出y(t)来识别

2、状态变量x(t)的能力，回答状态变量是否可以通过输出反映出来。可观测性：一些状态可以由输出y(t)决定，而另一些则不能。能被y(t)反映的状态是可观察的，不能被y(t)反映的状态是不可观察的。2020年7月17日5: 36，第1节可控性与状态可控性，严格定义了状态可控性的判据(3种)，2020年7月17日5: 36，6，1。状态如果系统的所有状态都是可控的，也就是说，可控状态充满了整个状态空间，那么系统就被称为是完全可控的。不失一般性，终止状态经常被选为状态空间的原点。即在2020年7月17日5: 36，7，2，状态能控性判据，1，判据1(能控性判别矩阵)，证明了在2020年7月17日5: 3

3、6，8，已知线性定常非齐次状态方程的解在2020年7月17日5: 36。根据状态能控性的定义，如果状态是完全能控的，则任何初始状态都有解。如果它是满秩的，则对于任何初始状态，可以从等式(6)获得相应的控制输入，从而可以根据定义完全控制系统状态。充分性得到了证明！2020年7月17日5: 36，11个案例判断了以下系统的可控性，系统状态完全可控；2)求能控性判别矩阵的秩，2020年7月17日5: 36，12个案例判断了以下线性连续时不变系统的能控性，解为：所以系统状态不是完全可控的。当维数较大时，要注意矩阵秩的性质。在2020年7月17日5: 36，13，2，准则2(标准方法)，前提是线性变换不

4、改变系统的可控性。2020年7月17日5: 36，14: 00，因为P是非奇异满秩矩阵，所以它也是满秩矩阵。根据矩阵和满秩的乘积，它的秩是不变的：2020年7月17日15:36。说明：定理2表明，如果二阶系统的对角标准形式是：那么根据定理1，如果系统可以控制，它必须是：由于它们的差异，在对角线标准形式的变量之间没有耦合。B行中的所有元素都是0，这意味着该输入对状态没有影响。如果把它推广到N阶系统，就会有定理2(注：如果系统有多个根，它仍然可以成为对角标准，那么定理2就不成立。例如，在上面的描述中，Qc的行列式是0，Qc是一个奇异矩阵。)，2020年7月17日，5: 36，16，1)，例如：检查

5、以下系统的可控性：2020年7月17日，5: 36，17，其中对应于数组中每个Jordan块的最后一行的元素不都是零。定理3:如果一个线性系统有多个特征值，并且每个多重特征值只对应一个独立的特征向量，那么其状态完全可控的充要条件是线性非奇异变换后系统的约当标准型。说明：定理3表明，如果二阶系统的约当标准型是：根据定理1:如果系统是可控的，它必须是：19.推论1:如果某个特征值对应几个Jordan块，MI系统的可控性准则是b中对应于同一特征值的每个Jordan块的最后一行的行向量是否是线性独立的，如果是，则状态可以控制，否则状态不能控制。如果线是线性独立的，状态可以控制。在2020年7月17日5

6、: 36，推论2:如果某个特征值对应于几个等价块，系统状态不能被控制。此时，如果对应于某一特征值的Jordan块的最后一行的B中的一行具有0行，则该行的对应状态不能被控制；如果这些行不是0，那么这些行在此时必须是线性相关的，因此无法控制状态。在2020年7月17日5: 36，2020年7月17日21: 36，2020年7月17日22: 36，对于单输入系统，此时A不变，B变为如下：本节摘要：2020年7月17日5: 36，23，线性连续时不变系统第2节2020年7月17日5: 36，24，1。可观测性定义，如果对于任何给定的输入u(t)有一个有限的观测时间，从而系统在初始时间的状态可以根据周期

7、的输出唯一地确定，那么该状态被称为是可观测的。如果系统的每一个状态都是可观察的，也就是说，可观察的状态充满了整个状态空间，那么系统就被称为是完全可观察的。可观测性是研究输出以反映状态向量的能力，即是否可以通过在有限时间内测量输出来识别系统的状态。输入引起的输出可以计算，所以在分析可观测性时，u总是等于0。注：2020年7月17日25时36分。可观测性被定义为初始状态的确定。在输入的作用下，任何状态都可以通过状态转移矩阵得到。2、需要定义观察时间。目的是找出n个唯一的状态变量，并测量几组输出。2020年7月17日26时36分，2。可观察性判别标准，1。准则1(可观测性判别矩阵)，证明：略(证明思

8、路与可控性相同，使用CH定理)，2020年7月17日5: 36，27。例子辨别下列系统的可观测性，解决方案：1)结构因此，系统不是完全可观测的，所以系统的可观测性判断如下：所以系统是完全可观测的。解：构造可观测性判别矩阵并判断其秩：2020年7月17日，5: 36，29，2，准则2(标准方法)，前提条件：线性非奇异变换不改变系统的可观测性，2020年7月17日。根据矩阵和满秩的乘积，它的秩是不变的：已证明，2020年7月17日，5: 36，31，定理2:如果一个线性系统有成对不同的特征值，它的状态是完全可观测的，其充要条件是线性非奇异变换后系统的对角标准型不包含元素全为0的列。2020年7月1

9、7日，5: 36，32，解释：定理2表明，如果二阶系统的对角标准是：那么根据定理1，必须有：为了让系统观察，必须有：解释：在对角标准形式下，变量之间没有耦合关系，所以反映每个状态的唯一方法是通过输出。c包含所有0列，这意味着此输出不能反映状态。2020年7月17日，5: 36，33，例如：观察以下系统的可观测性：2020年7月17日，5: 36，34，中间，对应于阵列中每个Jordan块的第一列的列的元素不都是零。定理3:如果一个线性系统有多个特征值，并且每个多重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全可观测的充要条件是：线性非奇异变换后系统的约当标准型，2020年7月17日5: 36，3

10、5。说明：定理3表明，如果二阶系统的Jordan标准形是：那么根据定理1，有：如果系统可以观察，它一定是在2020年7月17日5: 36，推论1:如果某个特征值对应于几个Jordan块，对于MO系统，对应于相同特征值的每个Jordan块的第一列的C中的列向量是否是列线性独立的，那么状态可以被观察，否则状态不能被观察。在2020年7月17日5: 36，推论2:如果某个特征值对应于几个等价块，那么系统状态不能被观测到。此时，如果对应于某一特征值的Jordan块的第一列的C列中的一列为0，则该列的对应状态不能被观察到；如果这些列不是0，那么这些列此时必须是线性相关的，因此无法观察到状态。2020年7

11、月17日5: 36，38，4:SISO线性系统的状态是完全可控和可观测的，如果在传递函数的分子和分母之间没有零或极点对消。2020年7月17日5: 36，40，3，准则3 (S平面分析法)，注：当且仅当系统状态是完全可控和可观测的，其传递函数没有重合因子。这意味着可比较的传递函数没有代表动态系统的所有信息。2020年7月17日，5: 36，41，定理分析1:特征值彼此不同，2020年7月17日，5: 36，42，必须有零点和极点消除，例如，没有零点和极点消除，2020年7月17日，5: 36，43，定理分析2有零点和极点消除。结论：如果存在零点和极点对消，系统可以控制而不能观察，也可以控制而不

12、能观察。哪一个取决于状态变量的选择。(将在本章第8节中介绍)，解释：关于SISO系统，在传递函数与能控性和能观性之间的关系中讨论了零极点对能控性和能观性的影响。对于多输入多输出系统，上述定理不再有效。对于多输入多输出系统，即使存在零极点对消，系统仍然是可控和可观测的。2020年7月17日5: 36，45，状态完全可控。示例：调查多输入多输出系统的可控性如下：有极点和零点，解决方法是：2020年7月17日5: 36，46。示例：已知的系统状态空间描述如下。试着判断它的可控性和可观测性。解决方案：系统状态空间描述的矩阵形式是：因此，系统的状态是完全可观测的，所以系统不是完全可控的。本节总结：202

13、0年7月17日5: 36，48，第4节，对偶原理，线性连续时不变系统的对偶原理，2020年7月17日5: 36，49，1。线性连续时不变系统、线性时不变系统1和2的对偶关系如下：如果有的教科书是这样定义的：2020年7月17日5: 36，50，1。线性连续时不变系统对偶关系示意图：输入R维，输出M维，输入M维，输出R维，例：给定系统，求其对偶系统的状态空间表达式，2020年7月17日5: 36，51，2，互2)互为对偶的系统的特征方程相同。在2020年7月17日5: 36，52，设和为对偶系统，那么可控性等价于可观测性；的可观测性等价于的可控性。2.线性连续时不变系统的对偶原理，2020年7月

14、17日，5: 36，53，所以可以观察到。说明：利用对偶原理，系统的可控性分析可以转化为对偶系统的可观性分析。从而传达控制问题和估计问题之间的关系。反之亦然。，郑碧，2020年7月17日5: 36，54，本节摘要：2。对偶原理，沟通可控性(控制问题)和可观测性(估计问题)，5: 36，2020年7月17日，55，第5节SISO系统状态空间表达式的可控和可观测标准形式(第一，可控标准形式可控标准类型：状态反馈系统设计的可观测标准类型：状态观测器的设计，以线性非奇异变换为前提，不改变系统的可控和可观测性，2020年7月17日5: 36，57，1。第一种可控标准类型，选择原则：直接基于可控判别矩阵的

15、列向量。其中：2020年7月17日5: 36，58，求导过程：用矩阵形式写成的凯莱哈密顿定理：代入：2020年7月17日5: 36，59，所以：2020年7月17日5: 36，60，定理1解释：2，因此，在寻求系统的可控标准形式时，首先要判断系统的可控性，如果不能控制它，就不能把它写成可控标准形式。3)系统化为可控范式的非奇异变换矩阵是可控判别矩阵QCB，AB，A2B，AN-1B，1)其中它是系统的不变量，即特征多项式的系数，尝试将下面的状态空间表达式变换为第一个可控范式。在2020年7月17日5: 36，61，解决方法是：1)判断系统的可控性，2)计算特征多项式，3)转换到第一个可控标准类型

16、，2020年7月17日5: 36，62，2，第二个可控标准类型(常用可控标准类型)，其中：选择原则：可控非奇异变换矩阵为：是乘法的结果，2020年7月17日5: 36，64。推导目的：为了得到2020年7月17日5: 36，65，5: 36，66，根据公式(1)，有：2020年7月17日5: 36，68，2020年7月17日5: 36，69，定理2说明：2)只有当系统完全可控时，才能写成第二可控标准形式。在寻求系统的第二可控标准形式时，首先要判断系统的可控性，如果不能控制，就不能写成可控标准形式。3)对于SISO系统，当传递函数不满足极点和零点时，和是系统传递函数的分母和分子多项式系数。直接获得第二可控标准形式。1)其中是系统的不变量，即特征多项式的系数，2020年7月17日5: 36，70。例如：让线性时不变系统用下面的公式来描述：试