现代控制理论数学基础

1、现代控制理论基础数学基础：主讲 丁立军一：矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。例如：属于二维矢量空间，属于n维矢量空间。当x属于某一矢量集v时，称x是v的元素， 即xv。线性空间的定义：如果v是非空的集合，p为数域，设v具有如下性质：1：v中的元素定义有加法，使任何x,yv有z= x+yv，并且加法运算具有下列性质： 1) x+y= y+x 2) x+y+z=（x+y）+z2：v中有这样的元素，称为零向量，记作0，它具有如下性质： 1)对任何xv，有x+0=0+ x= x2)对任何xv，存在-xv，使x+（-x）=0，则-x为x的逆元素。3：在v中定义了数

2、乘，使任何p，xv，有xv，且 1），p，xv有（）x=（x） 2)（+）x=x+x 3)（x+y）=x+y 4) 1x=x在上述条件下，称v为数域p上的线性空间，若p为复数域c（或实数域r）则v为c（或r）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。二：空间的维数1：空间矢量的线性相关性和线性无关性设v是线性空间，x1,x2,xmv,如果能找到一个数组(k1,k2, km)(0,0, 0)，使k1x1+ k2x2+kmxm=0成立，则称x1,x2,xm线性相关。反之，如果仅当(k1,k2, km)=(0,0, 0)，才有k1x1+ k2x2+kmxm=0成立，则称x1,

3、x2,xm线性无关。例1：求矢量x=（1，1），y=（2，2）的线性相关性。解：令k1x+ k2y=0，得：即：有非零解，故x，y线性相关。例2：求矢量x=（1，0），y=（0，1）的线性相关性。解：令k1x+ k2y=0，得：故x，y线性无关。例3：求矢量x=（1，4，1），y=（1，2，3），z=（1，3，6）的线性相关性。解：令k1x+ k2y+ k3z =0，得：其系数行列式：故x，y，z线性无关。定理一：设有n个矢量：a1=（a11，a12，a1n）a2=（a21，a22，a2n）an =（a n 1，a n 2，a n n）如果行列式：则a1，a2an必线性无关。定理二：当m2时，

4、矢量a1，a2am线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。定义：在线性空间v中，若存在n个元素a1，a2an满足：1）：a1，a2an线性无关；2）：v中的任一元素a总可由a1，a2an线性表示，则称a1，a2an为线性空间v的一个基，n称为v的维数，记为dimv=n。维数为n的线性空间称为n维向量空间vn，实n维列向量空间记为rn，复n维列向量空间记为cn。2：矩阵的秩与矢量相关性的关系 （1）秩的定义：矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵a的秩记为ranka。若a为n阶方阵：rankan，称a为降秩矩阵（奇异矩阵）ranka=n，称a

5、为满秩矩阵（非奇异矩阵），此时deta0。（2）矩阵的秩与矢量相关性的关系定理三：若ranka=r，则a中有r个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这r个行（列）矢量的线性组合。定理四：n阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。定理五：设arnm，brms，则rank（ab）min（ranka，rankb）。（3）线性方程式的解与秩的关系设线性方程组：a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amn xn=bm可写成矩阵形式 ax=b其中：增广矩阵：定理六：线性方程组有解的充要条件是：定理七：线性方程

6、组有唯一解的充要条件是：有无穷多个解的充要条件是：定理八：对于齐次方程组ax=0，当mn时，必有非零解，当m=n时，有非零解的充要条件是系数行列式为零。三：逆矩阵和矩阵的微分和积分1：逆矩阵 对于非奇异矩阵a，存在着一个逆矩阵a-1， 使a a-1= a-1a=i。逆矩阵具有如下性质：(a-1)k=(ak)-1、 (a-1)t=(at)-1、(a-1)*=(a*)-1 其中at、a*分别为a的转置矩阵和共轭转置矩阵。若a、b均为非奇异矩阵，有(ab)-1=b-1a-1。例：设求a-1。解：|a|=172：矩阵的微分设：矩阵的微分法则：3：矩阵的积分设四：格兰姆矩阵和格兰姆行列式设x1,x2,x

7、n为m维向量空间v中的一组向量，下列nn矩阵称为x1,x2,xm的格兰姆矩阵g，其行列式detg称为格兰姆行列式。其中：定理：f(t)的列向量f1,f2,fn线性独立的充要条件是它们的格兰姆矩阵非奇异。证明：充分性：设格兰姆矩阵非奇异，求证f1,f2,fn线性无关。即： （1）只有零解。（1）式左乘fjt(j=1,2,n)，对t积分： （2）即：或写为： （3）由于f1,f2,fn的格兰姆矩阵非奇异，故上式只有零解，即：说明 f1,f2,fn线性无关。必要性：若f1,f2,fn线性无关，求证f1,f2,fn的格兰姆矩阵非奇异。或f1,f2,fn的格兰姆矩阵奇异，求证f1,f2,fn线性相关。显然，由于f1,f2,fn的格兰姆矩阵奇异，说明（3）式有非零解，