零点极点分析

1、第五章 s域分析、极点与零点,决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性,系统函数的定义,系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作h(s). 可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳,系统函数的极零点分布,5.1 由系统函数的极零点分布决定 时域特性（1）时域特性h(t),反变换,第 i个极点决定,总特性,ki与零点分布有关,（2） 几种典型的极点分布(a)一阶极点在原点,（2） 几种典型的极点分布(b)一阶极点在负实轴,（2） 几种典型的极点分布(c)一阶极点在正实轴,（2） 几种典型的极点分布(d)一阶共轭极点在虚轴上,（2） 几

2、种典型的极点分布(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点,（2） 几种典型的极点分布(f)共轭极点在左半平面,（2） 几种典型的极点分布(g)共轭极点在右半平面,（3） 有二重极点分布(a)在原点有二重极点,（3） 有二重极点分布(b)在负实轴上有二重极点,（3） 有二重极点分布(c)在虚轴上有二重极点,（3） 有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点,一阶极点,二重极点,极点影响小结：,极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋势 极点落在右半平面 h(t)逞增长趋势 极点落在虚轴上只有一阶极点 h(t) 等幅振荡，不能有重极点 极点落在原点 h(t)等于 u(t),（4） 零点的影响,零点移动

3、到原点,（4） 零点的影响,零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率,幅度多了 一个因子,多了相移,结论,h(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关 自由响应的幅度和相位与h(s)和e(s)的零点有关，即零点影响 k i , k k 系数 e(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与h(s) 无关 用h(s)只能研究零状态响应， h(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。,激励e(s)的极点影响,激励e(s)的极点也可能是复数 增幅，在稳定系统的作 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 等幅，稳态 衰减趋势，暂态,例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应。,（1）求e(t

4、)的拉氏变换,（2）求系统函数h(s),（3）求系统完全响应的拉氏变换,暂态,稳态,(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换v01(t),（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。,固定常数,衰减因子,（7）求第一周期的稳态响应,（8）整个周期矩形信号的稳态响应,暂态响应,稳态响应,完全响应,5.2 由系统函数决定系统频率特性,什么是系统频率响应？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两种形式：,由正弦激励的极点 决定的稳态响应,如系统是稳定的， 该项最后衰减为零,稳态响应 有关的,幅度该变,相位偏移,若 换成 变量,系统频率 特性,幅频特性,相位特性,用几何法求系统频率

5、特性,例：已知 试求当时的幅频和相位,5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的s平面分析,已知该系统的h(s)的极零点在s平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线,（1）一阶系统,一零点，一在实轴的极点 一在原点的零点，一在实轴的极点 只有无穷远处的零点一在实轴的极点,例：求一高阶系统的频率特性,+ u1 ,+ u2 ,c,r,m,n,-1/rc,例： 求一阶低通滤波器的频率特性,r,c,+ u1 _,+ u2 _,m,没有零点,幅频特性,相位特性,（2） 二阶非谐振系统的s平面分析,只考虑单极 点使系统逞 低通特性,只考虑一极点 和一零点使系 统逞高通特性,中间状态是个常数,低通,高通,

6、总体是个带通,例：,高通,低通,较小时 起作用,逐渐增加,高通,较大时 起主要作用,低通特性,逐渐增加,带通,例：若已知h(s)零极点分布如图(a)-(h)试粗略给出它们的,5.4 二阶谐振系统的s域分析,谐振频率 衰减阻尼因子 频率变化影响 高品质因素,（一）谐振频率,衰减因素,谐振频率,(二)阻尼衰减因子 的影响,若 不变，则共轭极点总是落在以原点为圆心，以 为半径的左半圆弧上,等幅震荡,衰减震荡,临界 不起振,实数,根本不起振,（三）频率变化影响,当频率变化时 在s平面沿着虚轴移动，将 代入z(s)， 则为系统频率特性，幅度、相位均沿 变化。,讨论 的前提下， 不变 而 变化的情况,斜边

7、乘高,直 角边之积,显著增长，而 增长缓慢些,(四)高品质因素的影响,品质因素定义为 包括了 两方面的影响 高，若谐振频率一定，则 小，损耗小，容易震荡，频率特性尖锐 低，则相反,例如：当 时的情况,当 在 附近时,边带,带宽,高 带窄,例如：高阶系统（极零点靠近虚轴）,无损电路，即 很小,有非常靠近虚轴的零极点,5.5 全通网络和最小相移网络,5.5全通网络和最小相移网络,系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于 轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络。 全通，即幅频特性为常数 相移肯定不是零,全通网络的零极点分布,从对称零点极点之和为180

8、度 逐渐减少最后为-360度,例：,一些对称性强的网络可能是全通网络,最小相移网络,零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大 零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小 定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为“最小相移网络” 非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联,相互抵消,乘,5.6 系统稳定性,一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关 系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性,稳定性的三种情况,稳定系统：h(s)全部极点落在左半平面（除虚轴外） 不稳定系统：h(s)有极点在右半平面，或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。

9、 边界稳定系统：h(s)有一阶极点，等幅震荡,稳定系统对零极点的要求,在右半平面不能有极点，全在左半面 在虚轴上只能有一阶极点 分子方次最多比分母方次高一次，即：转移函数 策动点函数 中分母的 的因子只能是 的形式，其中 都是正值，乘得的系数也是正值。,从最高次幂到最低次幂无缺项，b 0 可以为零。 要么全部缺偶次项 要么全部缺奇次项 的性质也使用于,2. 罗斯-霍尔维兹准则 设n阶线性连续系统的系统函数为,式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是实常数。h(s)的分母多项式为,h(s)的极点就是a(s)=0的根。若a(s)=0的根全部在左半平面

10、，则a(s)称为霍尔维兹多项式。 a(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：a(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于h(s)的分子b(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然， 若a(s)为霍尔维兹多项式， 则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(r-h准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。,罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则 (r-h准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是

11、罗斯判据(罗斯准则)。,若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：,罗斯判据(罗斯准则) 指出： 多项式a(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明a(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于a(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则h(s)的极点全部在左半平面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同， 则

12、系统是不稳定系统。,综上所述，根据h(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查a(s)的系数ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则a(s)不是霍尔维兹多项式， 故系统不是稳定系统。若a(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则a(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。,例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为,判断三个系统是否为稳定系统。,解 h1(s)的分母多项式的系数a1=0，h2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以h1(s)和h2(s)对应

13、的系统为不稳定系统。h3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用r-h准则判断。h3(s)的分母为,a3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为,根据式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得,因为a3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据r-h准则，h3(s)对应的系统为稳定系统。,例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的s域方框图表示。图中，h1(s)为,图 4.8-4 例 4.8-3 图,k取何值时系统为稳定系统。,解 令加法器的输出为x(s)， 则有,由上式得,根据h(s)的分母构成罗斯阵列，得,由式(4.8-20)和式(4

14、.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为,根据r-h准则，若 和-k0，则系统稳定。 根据以上条件，当k0时系统为稳定系统。,4.8.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换,若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换f(j)和单边拉普拉斯变换f(s)分别为,由于s=+j，因此，若能使=res等于零，则f(s)就等于f(j)。但是，能否使等于零，这取决于f(s)的收敛域。 f(s)的收敛域为res0, 0为实数，称为收敛坐标。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。,1. 00 如果00，则f(s)的收敛域包含j轴(虚轴)，f(s)在j轴上收敛。若令=0，即令s=j，则f(s)存在。这时，f(t)的傅

15、里叶变换存在，并且令s=j，则f(s)等于f(j)。 即,例如， ，其单边拉普拉斯变换为,的傅里叶变换为,2. 0=0,若收敛坐标0=0，f(s)的收敛域为res0，f(s)的收敛域不包含j轴，故f(s)在j轴上不收敛。若令s=j，则f(s)不等于f(j)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点ji(i=1, 2, , m)。将f(s)展开为部分分式，表示为,式中，fn(s)表示左半平面极点对应的分式。令fn(s)的原函数为fn(t)，则f(s)的原函数为,的傅里叶变换为,由于 是 的原函数，并且 的极点在左半面，故,根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于(t)的傅里叶变换为， 因此得,3. 00 若00，则f(s)的收敛域也不包含j轴，收敛域的边界在右半平面内。 因此，不能用式(4.8-24)得到f(j)。例如， f(t)=e2t(t), f(s)= ，f(s)的收敛域为res2， f(t)的傅里叶变换不存在。,例 4.8-4 已知f(t)=e-2tcos t(t)的单边拉氏变换为,求 傅里叶变换,解 f（s）的收敛坐标 ，即 。因此,另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于,所以有,例 4.8-5 已知f(t)=(1-e-t)(t)的单边拉