向量值函数的导数与积分课件

1、第九章 向量值函数的导数与积分, 9.1 向量值函数及其极限与连续, 9.2 向量值函数的导数与微分, 9.3 向量值函数的不定积分与定积分,1,学习交流PPT,9.2 向量值函数的导数与微分,9.2.1 向量值函数的导数与微分,内容小结与作业,9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程,2,学习交流PPT,1向量值函数导数与微分的概念,义，如果极限,存在，,则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导，,并称极限值为,向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，,记为,或者,数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.,9.2.1 向量值函数的导数与微分,3,学习交流PPT,与一元数量函数

2、类似，可以进一步定义向量值函数的,高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为,的导数, 即:,向量值函数的导数的几何解释,（a）二维向量值函数的情形,（b）三维向量值函数的情形,4,学习交流PPT,如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么,这个向量可以看作是割线向量,趋于曲线在点 P 处的切线向量,线这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为,5,学习交流PPT,向量值函数的导数的物理意义:,r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置,对应的几何曲线为质点的运动轨迹,是质点在时间段 t, t + t 上的位移,是质点在这段时间内的平均速度，,是质点在时刻

3、t 的瞬时速度 v(t)，即,速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).,6,学习交流PPT,向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到.,其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且,定理9.2.2 设三维向量值函数,同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.,7,学习交流PPT,例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：,解,这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线,8,学习交流PPT,且在区间 I 内,光滑的,例如，例1

4、中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的,一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线,9,学习交流PPT,解 因为,光滑的曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，,在曲线上出现了尖点的特征,所以，该曲线不是,10,学习交流PPT,解 质点的速度为,质点的速率为,质点的加速度为,质点的速度、加速度与速率,11,学习交流PPT,可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为,对于可导的二维向量值函数,对于可导的三维向量值函数,对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与,当 dt 0 时, dr与,12,学习交流PPT,数值函数，,设u(t), v(t)为

5、可导的向量值函数，,常数，则有,定理9.2.1,C 为常向量 (即 C的各分量都为常数), k 为,f (t)为可导,2向量值函数的求导法则,13,学习交流PPT,( 7 ) 链式法则：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t),为可导的数值函数，则,14,学习交流PPT,例4,设 r(t) 是可导的向量值函数，且,如果,证 因为,则由求导法则 (5) 知,因此，,几何意义: 如果一条曲线位于一个以原点为球心的,15,学习交流PPT,例5 如果质量为 m 的质点的位置向量为r(t),角动量,转动力矩为,证明：,证 由求导法则（6），知,注意到,则,特别，当 M(t) = 0 时,从而L(t)为常向量.,这就是物理学中的角动量守恒定律,16,学习交流PPT,向量为,称过点 P 且与向量 T (t) 垂直的平面为空间曲线 的,法平面，其方程为,9.2.2 空间曲线的切线与法平面,17,学习交流PPT,切线方程与法平面方程,且点(1,1,1) 与 t = 1对应,所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为,因此，所求切线方程为,解 因为,所求法平面方程,即,18,学习交流PPT,内容小结与作业,作业:教材80-82页 1(1)(3)