lec9 连续型随机变量及其概率分布.ppt

1、连续型随机变量及其概率分布,第九讲,大纲,什么是连续型随机变量 主要连续型随机变量及其分布介绍 均匀分布 指数分布 伽玛分布,概率密度函数,对于离散型随机变量我们可以用一系列等式来描述其概率分布的情况 而对于连续型的随机变量，由于变量的可能取值是某一区间内的所有值，这时我们考察事件X = x的概率显然没有什么意义，而必须了解事件a b的概率 为此，引进概率密度函数的概念,概率密度函数的定义,对于随机变量X，如果存在非负可积函数 f (x)，使对任意实数a，b ，(a b)，都有： 则称X为连续型的随机变量，并称f (x)为X的概率密度函数(probability density functio

2、n, pdf) 对应于离散型随机变量， f (x)为X的概率质量(mass)函数， pmf,说明,讨论连续型随机变量落如某一区间的概率时，不必区分是否包括区间端点 随机变量落入某一区间(a，b)的概率等于曲线 y = f (x)在区间(a，b)上的面积 概率密度函数y = f (x)满足概率的基本性质 非负性 正则性,这两条性质是判定函数 f (x) 是否为随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件,概率分布函数,设X是一连续型随机变量，则函数 F(x) = Pr(X x)称作X的概率分布函数 与我们前面学的次数或频率累积分布曲线相似 也称作累积分布函数，cdf 对于离散型随机变量，定义同样成立

3、 对于任意实数x1 x2，随机点落入(x1, x2)上的概率为：,分布函数的特性,如果将X看作是数轴上的随机点的坐标，那么F(x)在x处的函数值就表示点X落入区间 (-, x)上的概率 对于连续型随机变量X，分布函数F(x)与密度函数 f (x) 有如下关系： F(x)是f (x)的可变上限积分函数 F(x)的取值随x的不同而不同,F(x),在 f (x)的连续点处，有 f (x) = F(x) 在可导处x0,这就是概率密度,分布函数的性质,0 F(x) 1 F(x)是非减函数 若x1 x2，有F(x1) F(x2) F(x)右连续 对于连续型随机变量， F(x)处处连续 对于离散型型随机变量

4、， F(x) = Pr(X x),F(x)右连续,分布函数与密度函数的几何含义,F(x),f ( x),几种重要的连续型随机变量,均匀分布 指数分布 伽玛分布,均匀分布,一个质点在某个区间作均匀运动，以等可能性落在区间内的任意一点 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： 则称X服从 a，b 区间上的均匀分布，记作X Ua，b,分布函数,图示,例5.38,某人要搭乘一列6：00发出的火车，他打算乘出租车于5：40出发到火车站，从他家乘汽车 到火车站，在最顺利的情况下要10分钟，在交通最拥挤时要50分钟，到火车站后上火车要5分钟。假定从他家到火车站汽车行驶时间X在10，50区间上服从均匀分布，问

5、此人能赶上火车的概率。,练习,秒表最小刻度值为0.01秒。若计时精度是取最近的刻度值，求使用该表计时产生的随机误差X 的概率密度函数f (x) ，并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率 计算均匀分布概率的简便思路： Pr(c X d)=|d-c|/|b-a|,指数分布,定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： 则称X服从参数为l 的指数分布，记作XE(l) 其分布函数为：,指数分布的应用,常用于描述两次事件在特定的时间间隔内发生的概率，如 电子元件的寿命 病人候诊的时间 机器发生两次故障的间隔 银行自动提款机支付一次现金所花费的时间 其中参数l 表示在单位时间内，事件发生的次数,图形,pd

6、f,cdf,Expondist函数,语法：Expondist(x, lambda, cumulative) x：函数的数值；Lambda：参数值l； Expondist(10,0.2,TRUE) = 0.864665，是一个概率分布值 Expondist(10,0.2,FALSE) = 0.027067 ，是一个概率密度值,指数分布与泊松分布,泊松分布中随机变量X描述的是在一段时间中事件发生的次数(离散)，指数分布描述的则是两次事件发生之间的时间间隔(连续) 两种分布有同样的参数，但参数的表述形式有所不同,例5.44,已知某工厂生产的笔记本电池的使用寿命X服从参数=0.4的指数分布。厂家承诺，

7、如果电池在半年之内不能使用的话，可以免费更换。已知能够正常使用的电池的平均利润为每个200元，更换电池的成本为每个600元，请问该厂家最终的平均利润为多少？ 我们首先需要计算一下电池的使用寿命在半年以内的概率是多少：P(X0.5)=expondist(0.5,0.4,1)=0.1813。 然后计算电池的平均（期望）利润为： 2000.8187-6000.1813=54.96（元）,伽玛分布,指数分布和伽玛分布都可以用来计算等候时间、产品可靠度、排队问题等 不同的是，在指数分布中是等待第一个成功事件所需的时间，而在伽玛分布中，则等待第n个成功事件所需的时间 定义：如果随机变量X概率密度函数为：

8、其中， a 和b 均大于0 则称X服从参数为a 和b 的伽玛分布,图形,应用,伽玛分布可以用来计算等候时间 在泊松过程中，单位时间成功次数为l，那么等候第一个成功事件出现的时间平均需要b1/ l，若要等候第n个成功事件出现，则an GAMMADIST函数 语法：GAMMADIST(x, alpha, beta, cumulative),例5.45,某个淘宝热门小铺平均而言每分钟的点击人数达到2人次，那么第50个访问者会在半小时内出现的概率是多少？ 该网站第一位访问者出现的平均时间b 1/2分钟，a 50，x30，根据伽玛分布，得到： F(X=30; a 50, b1/2)Gammadist(3

9、0, 50, 1/2, 1) =0.9156。,例5.46,小张每天早上7点半左右搭乘公交车上班，一般而言，平均每10分钟有一班公交车。今天早上他等了20分钟还没有公交车到达，请问今天的情况是否特别偶然? 公交车抵站可以视为泊松过程，因此等候的时间服从伽玛分布 等候第一个公交车出现的时间平均需要b10分钟，小张在这20分钟的时间里等待下一辆公交车到达，所以a1。 等候20分钟尚无公交车到达的概率为： P(X20; a 1, b10)=1-P(X=20) =1-Gammadist(20, 1, 10, true) = 1-0.8647 = 0.1353,伽玛分布与泊松分布,两种分布都是从泊松过程中产生的 泊松分布是一种离散型随机变量分布，它描述的是在一个连续的时间或空间中，事件发生n次的概率 伽玛分布则是连续型随机变量分布，它描述的是在一个泊松过程中，事件发生n次所需一定时间的概率 它们之间是否存在着某种对应关系？,伽玛分布与泊松分布,在例5.45中，我们用伽玛分布计算了第50个访问者会在半小时内出现的概率 现在对于这一事件，我们也可以用泊松分布来计算在半小时内出现至少50个访问者的概率 由题意可知l = 230 = 60，其概率值为：1-Poisson(49, 60, 1) = 0.9156，结果与我们用伽玛分布计算的完全一样！ 因此在求解泊松过程的概率问题时，