SSP第1章自由电子论2_基态性质110722.ppt

1、1,1.3 量子电子气基态性质,1.3.1 量子电子气的薛定鄂方程,电子服从量子力学 1、自由电子单电子状态由波函数描述，设为 (r) 2、电子无相互作用，令势能为零，满足与时间无关的定态薛定鄂方程 m 为电子质量，在直角坐标系表示为,2,1.3 量子电子气基态性质,1.3.2 周期性边界条件,薛定鄂方程求解需要边界条件 我们取周期性边界条件，其选取原则： 1、表达电子在有限体积内的事实 2、固体表面效应对体内电子影响可以忽略 (可令，V = L3) 3、数学处理方便 4、实验验证可行,周期性边界条件： 一维情况： 三维情况：,3,周期性边界条件的几何图象 想像很多立方体，立方体的每个表面和相

2、对的另一表面连接在一起。 电子运动到达表面后，不是反射回来，而是从相对的表面的对应点进入金属。 一维图象是用封闭的环 L 代替从 0 到 L 的直线。,1.3 量子电子气基态性质,1.3.2 周期性边界条件,4,1.3 量子电子气基态性质,1.3.3 薛定鄂方程的解,可以验证，薛定鄂方程 有本征函数解 相应本征值 几点注意： 1、可以代入薛定鄂方程验证 2、这里 k 是一个与位置 r 无关的矢量 3、k(r) 已归一化处理，归一化常数为根号V ( V 晶体体积),5,1.3 量子电子气基态性质,1.3.4 k矢量的意义,(1) 处在状态 k(r) 的电子，具有一个与 k 矢量成正比的确定的动量

3、，P = k,证明： 根据量子力学动量算符 求解， 可见，k(r) 是动量算符的本征态，本征值为 P = k 同时可见，自由电子在态 k(r)，同时具有确定的能量和动量。因此，k(r)是能量算符和动量算符的共同本征态 ，二个算符可对易。 自由电子速度： 自由电子能量：,6,(2) k 是波矢，即：是自由电子德布罗意波前进方向,因为，k 是与位置 r 无关的常矢量 所以，自由电子波函数 具有： 1、在任一垂直于 k 的平面上取常数(振幅和相位都是常数)？ 2、在平行于 k 的直线上振幅周期变化 (周期波长 = 2 / k) ？,1.3 量子电子气基态性质,1.3.4 k矢量的意义,自由电子波是平

4、面波的直接结果,7,(3) k 的取值分立，是确定电子状态的量子数 验证：利用周期性边界条件 (x+L, y, z) = (x) 同理， 可见， k 分立取值，又由于 k 决定了电子动量和能量，从而决定电子状态，因此，称 k 是确定电子状态的量子数。,1.3 量子电子气基态性质,1.3.4 k矢量的意义,8,1.3.5 k空间,(1) 设想，在以 kx，ky，kz 为坐标轴的直角系中表达电子全部可能的波矢 k 的允许取值，以便简洁表达波矢 k 的取值特征。,(2) 由于量子数 k 决定了电子的状态 (能量和动量)，所以 k 空间也称为电子的状态空间,每个 k 态在 k 空间中占据的体积为 (2

5、/L)3,1.3 量子电子气基态性质,自由电子在 k 空间允许取值的波矢位置,分立取值，均匀分布,9,(3) 态密度函数 1、每个 k 态在 k 空间中占据的体积为， 2、单位 k 空间体积包含的 k 态数目为， 3、由于电子自旋量子数可取， ， 所以，单位 k 空间体积包含电子态数目为， 4、定义 k 标度下的态密度，g(k) 5、定义能量标度下的态密度，g(),1.3 量子电子气基态性质,1.3.5 k空间,10,可以验证能量标度下的态密度函数 由 知自由电子的等能面在 k 空间是一个球面， 求 ( (k)， (k)+d) 能量区间内状态数 dN， 式中 为 (k)等能球面面积， 为 (k

6、)和 (k)+d 二个等能球面间的体积。 代换： 得，,1.3 量子电子气基态性质,即，,1.3.5 k空间,11,1.3.6 量子电子气的基态,(1) 基态定义： 1、T = 0K 时，N 个电子气系统的能量； 2、系统最低的能量状态； 3、对应于 k 空间具有最低能量状态的 N/2 个点。,1.3 量子电子气基态性质,(2) 费米球 N/2 个点填满以 kF 为半径的球。 可由下式求出， n 为电子浓度。,12,(3) 费米球的物理意义 1、对于基态，在费米球内，所有的状态都被电子占据；而在费米球外，所有状态都末被占据; 2、费米面-费米球面，在基态，费米面把占据态和末占据态分开； 3、费米面是近代金属理论的重要概念，一般来说，费米面非球面形。 (4) 其它几个物理量,1.3 量子电子气基态性质,费米能,费米温度,费米动量,费米面态密度,费米速度,1.3.6 量子电子气的基态,13,1.3.7 量子电子气的基态能量,(1) N个电子系统的基态总能量-费米球内电子能量之和 (2) 电子气基态能量密度(单位空间体积能量) (3) 基态电子平均能量 注意：1、量子论基态电子能量不为零； 2、经典论电子能量 3kBT/2，温度 零，能量 零； 3、令 3kBTF/5 = 3kB