4.3-微分方程在经济学中的简单应用课件

1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,4.3 微分方程在经济学中的简单应用,一、一阶微分方程在经济学中的应用,二、二阶微分方程在经济学中的应用,三、 小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,一、 一阶微分方程在经济学中的应用,全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变.,引例 多马(Domar, E.D.)经济增长模型,基本假设:,湘潭大学数学与计算科学学院,3,设S(t)、 I(t)和Y(t)分别为

2、t 时刻的储蓄、投资和国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济增长模型：,其中、 均为正的常数，Y0为初期国民收入，,(1),湘潭大学数学与计算科学学院,4,第一个方程表示储蓄与国民收入成正比(称为储蓄率)， 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成正比(称为加速数)， 第三个方程表示储蓄等于投资. 由(1)中前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关于Y(t)的微分方程:,(2),湘潭大学数学与计算科学学院,5,这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得,两边积分得,因此国民收入函数为,湘潭大学数学与计算科学学院,6,因此国民收入函数为,由此可得:,由0可知，,均为时间t的单调增加函数，,即它们都是

3、不断增长的.,湘潭大学数学与计算科学学院,7,从凯恩斯的理论框架开始，但避免了凯恩斯投资率不会增加资本存量规模的假定（短期分析），从而变成了长期理论。 该模型产生了一种均衡条件，它意味着经济增长的不变比率。 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变量，一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能力，政府可以通过调节储蓄水平、刺激资本积累来实现经济的长期增长。,多马模型的结论与意义:,湘潭大学数学与计算科学学院,8,资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力根本不能替代，这一假定是不现实的。 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用，从而将经济增长推向“唯资本论”的方向。 没有考虑到技术进步在经济发展中的

4、作用。 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色彩，而对市场机制的作用有所忽视。,多马经济增长模型的缺陷,注：索洛(Solow, R. M.)经济增长模型对此作了一定的修正,湘潭大学数学与计算科学学院,9,例1（弹性问题） 设商品的需求弹性,为常数），求该商品的需求函数,解 根据需求弹性的定义，,可得微分方程,湘潭大学数学与计算科学学院,10,分离变量得,两边积分得,因此需求函数为,其中 C为任意正常数.,湘潭大学数学与计算科学学院,11,例2（供给与需求问题）在实际问题中，价格P一般 是随时间的变化而变化的，即价格P是时间t的函数. 而供给量S与需求量D都是价格P的函数，从而供给量 S和需求量

5、D也是时间t的函数并且供给和需求量不 仅仅取决于随时间t而变化的价格，而且还受价格变 化率的影响，于是，我们可以假设：,湘潭大学数学与计算科学学院,12,如果,时，价格是12，试将市场均衡价格表示,解 我们知道，要求市场的均衡价格，只要令,即可，于是有：,的变化率. 设某商品的供给和需求函数分别满足,的函数.,为时间,表示价格关于时间,时刻的价格，,表示,其中,湘潭大学数学与计算科学学院,13,整理得,解得,再将初始条件,代入得,因此,这就是均衡价格关于时间的函数,湘潭大学数学与计算科学学院,14,那么意味着价格随时间的推移而无限增大，此时认为,如果,这意味着这种商品的市场价格稳定，并且商品的

6、价格,趋向于7,价格不稳定(膨胀),显然，在此例中满足,于是有,新产品的推广模型,分离变量，积分，可以解得,也称为逻辑斯蒂曲线.,方程 也称为逻辑斯蒂模型，,通解表达式,由,以及,湘潭大学数学与计算科学学院,19,湘潭大学数学与计算科学学院,20,湘潭大学数学与计算科学学院,21,例3(市场均衡价格模型) 设市场上某商品的需求和,初始条件为,试求在市场均衡条件,下，该商品的价格函数,供给函数分别满足,二、 二阶微分方程在经济学中的应用,湘潭大学数学与计算科学学院,22,解 据题意，由,得微分方程,其对应的齐次程的特征方程为,解得其共轭复根为,于是对应齐次方程的通解为,湘潭大学数学与计算科学学院,23,由于原方程右端为常数4，,因此可设特解为,代入原方程可得,因此原方程的通解为,代入初始条件,可得,因此该商品的价格函数为,湘潭大学数学与计算科学学院,24,微分方程是解决许多应用问题的重要工具.,方程解决应用问题的第一步同时也是最重要的一步是,用微分,在列方程时既需要对实际问题进行深入分析，,弄清楚问题中所包含的变