3.6-导数在经济上的应用课件

1、,3.6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数在经济上的应用,第三章,3.6.1 常用的经济函数,3.6.2. 最大值与最小值在经济问题中的应用举例,3.6.3 导数在经济分析中的应用,3.6.1 常用的经济函数,需求函数:就是商品需求量与价格之间的函数关系。,1. 需求函数,常见的需求函数有以下几种类型,(1) 线性需求函数,(2) 二次需求函数,(3) 指数需求函数,一般来说，需求函数是价格的单调减少函数.,供给函数:就是商品供给量与价格之间的函数关系。,需求函数的反函数 称为价格函数。,2. 供给函数,常见的需求函数有以下几种类型,(1) 线性供给函数,(2) 二次供给函数（略）,(

2、3) 幂供给函数,(4) 指数供给函数,一般来说，供给函数是,价格的单调增加函数.,需求函数,供给函数,均衡价格,均衡量,供过于求,供不于求,3. 均衡点,例3.6.1. 某商品的,需求函数,供给函数,求均衡点。,解：由均衡条件,得：,3. 成本函数,cost, FC(q)和变动成本(variable cost,VC(q).固定成,本包括设备的固定费用和其他管理费用；变动成本,成本函数：一个企业的成本包括固定成本(fixed,是随销售量或有形产量的变化而变化。,总成本=固定成本+可变成本，即,平均成本函数,平均成本函数,q是企业生产量或销售量,例3.6.2 如果已知某产品的成本C是产量q的线性

3、,时，,；当,时，,，,求出当,时的成本是多少？,解：设,则,解之得：,所以,（元）,函数，而,4.收益函数与利润函数,收益函数：生产者出售一定数量产品所得的全部,收入，即收益=价格售出量，即,利润函数：利润是一个企业所追求的主要目标之一。,利润L(q)是产量（或销售量）的函数，,生产者盈利；,生产者亏损；,生产者盈亏平衡；,称为盈亏平衡点（又称保本点）,利润=收益-成本：,例3.6.4 某工厂生产的某产品，年产量为q台，每,台售价为100元，当年产量超过800台，超过的部分,只能以9折的价格出售，这样可以多出售200台。再,多生产，将无法出售。试写出本年的收益函数。,解：,例3.6.5 设某

4、产品的价格函数是,其中p为价格（元），q为产品销售量。,又设产品的固定成本为6000元, 变动成本为20元/件。,解：,成本函数为,收益函数,利润函数,求成本函数、收益函数和利润函数。,1.最大利润问题：,3.6.2.最大值与最小值在经济问题中的应用举例,例3.6.6. 某产品的总收益函数为,总成本函数为,解：利润函数为, 求产量为多少时总利润,这是L(q) 唯一的驻点,所以当 q = 20 时总利润最大.,最大.,最大利润：,小结：一般地, 当,时，,时，,总利润最大。,例3.6.7. 某商店以每台350元的价格每周可能售出,CD唱机200台，市场调查指出，当价格降低10元时，,一周的销售量

5、可增加20台。求出价格函数和销售额,函数, 商店要达到最大销售额，应该把价格降低多,少元 ？,即,解：设调价后每周能售出x台，,而每多销售一台，则价格降低,说明若价格降低,所以,则每周增加的销,故价格函数为：,有唯一的极大值，即为最大值。,销售额函数为：,求其最大值：,销售额可达到最大。,售量为,2.最小成本问题：,例3.6.8. 某产品的成本函数为：,求 当产量为多少时，平均成本最小。,解:,平均成本：,（只取正值）,1. 边际函数：,设函数,称为f (x)在 x 处的变化率。,称为f (x)在 平均,所以，边际函数近似等于,当 自变量 从 x 处改变一个单位时，y 相应的改,变量称为边际函

6、数。此时，,实际上，经常省略“近似”。,3.6.3 导数在经济分析中的应用,一. 边际分析,变化率。,计划生产 q 件产品后再多生产 1 件产品,成本的实际改变是:,即: 产品数量为 q 时，边际成本为增减一件产品 时成本的实际改变 。,边际成本:,(或少),2 边际成本函数,例3.6.9. 某产品的总成本 C (单位:元)和产量 q 的,和225件产品时的边际成本.,解:,经济含义: 当产量为100件时, 再增加1件产品,总成本将增加 6 .5元左右。,关系式为,求生产100件和,经济含义: 当产量为 225 件时, 再增加 1 件产品, 总成本将增加 6 元左右。,3. 边际收益函数,总收

7、益：,边际收益函数：,在销售了q 件产品后再多(或少)销售 1 件产品, 收,益的实际改变是:,其中,例3.6.10. 设产品的需求量为：,p 为单价,求边际收益函数及 q = 20,50,70 时的边际 收益，并解释所得结果的经济意义。,解：产品单价为,总收益函数为,边际收益函数：,边际收益函数：,q = 20时, 再多售一件产品总收益将增加12个单位,q = 50时, 再多售一件产品总收益不会增加,q= 70时, 再多售一件产品总收益反而减少8个单位,4. 边际利润函数,利润函数：,L = 总收益 总成本,边际利润：,边际利润的含义: 销售量为 q 时，边际利润为再 多售一件产品时利润的增

8、加量,(少售),(减少量),二. 弹性分析,定义3.6.1 设函数,称为f (x)在 x 处的弹性（相对变化率）。,1. 函数弹性的概念,边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，,而函数的弹性是指相对改变量与相对变化率。,可导，,2. 需求弹性,设需求函数为,P为产品的价格,数在P点可导，,则该产品在价格,为P时的需求弹性：,该函,当 很小时，有,所以需求弹性反映了需求量对价格变动反映的灵,敏度。一般地，因为需求函数为单减函数，故需求,弹性为负值。,故需求弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动,1%，需求量将近似地变动 %。,例3.6.11 设某种商品的需求量Q与价格P的关系,(1)求需求弹

9、性 ；,(2)当商品,的价格为10元时，再提高1%，求商品需求量的变化,解 (1)需求弹性为,为,情况。,需求弹性为负, 说明价格P提高1%时, 需求量减少 %。,(2)当价格为10元时，,说明当价格为10元时，价格提高1%时，需求量减,价格降低1%时，需求量增加13.9 %.,少13.9 %.,3. 供给弹性：与需求弹性的定义类似。,设供给函数为,P为产品的价格,该函数,为P时的供给弹性：,在P点可导，则该产品在价格,当 很小时，有,所以供给弹性反映了供给量对价格变动反映的,灵敏度。一般地，因为供给函数为单增函数，故供,1%，供给量将近似地变动 %。,给弹性为正值。,故供给弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动,4. 总收益弹性,因为,该函数对P求导，得,总收益弹性,例3.6.12 设某种商品的需求函数为,(1)求当P=4时的边际需求，并说明其经济意义。,解 (1)当P=4时的边际需求为,说明当价格P=4时，价格提高1个单位，需求量,减少8个单位。,说明当P=4时，价格提高1%时，需求量减少0.54 %.,(2)求当P=4时的需求弹性，并说明其经济意义。,(3)求当P=4时，若价格上