函数的最值与导数在经济中的应用改

1、目录,第3章 导数的应用,3.2 洛必达法则,3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性,3.5 函数的最值及其应用,3.1 微分中值定理,3.4 函数的极值,3.7 导数在经济分析中的应用,3.6 函数图形的描绘,主要内容,3.7.1 函数的最值及最值的应用,3.7.2 最值在经济应用中的举例,3.7.3 导数在经济分析中的应用,3.7 导数的最值与导数在 经济中的应用,3.7.函数的最值,最值的定义,如果函数在其定义域上的函数值满足 ，其中 则称为函数的最小值，为函 数的最大值。,3.7 导数的最值与导数在经济中的应用,我们知道，连续函数在闭区间上一 定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可 能

2、在区间内的极值点和端点处得到因此可 直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导 点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小， 即可得出函数的最大值和最小值。,3.7.函数的最值,函数 的最值的所有可能点是三类点： 区间的端点，驻点，使导数 不存在的点。,求函数在上的最大值和最小值。,解：,3.7.函数的最值,因为,显然 与 是 的不可导点, 令,得驻点为 ，,比较各值，得函数 的最大值为 ， 最小值为 。,求函数在 上的最大值和最小值。,解：,3.7.函数的最值,因为,1 . 求函数 在 上 的最大值和最小值。 2.求函数 在 上的最大值和 最小值。,答案：1. 最大值 ，最小值 ； 2. 最大

3、值 ，最小值,例2,用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？,解,设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为Vcm3得,3.5 函数最大值和最小值的应用,令,得,令,得,又由问题得实际意义知，函数V的最大值在（0，12）内取得，所以当x4时，函数V取得最大值，即当所截去的正方形边长为4cm时，铁盒的容积最大。,例3,在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离岸40km，乙城到岸的垂足与甲城相距50km，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每公里3万元和5万元，问此水

4、厂应设在河边的何处才能使水管费用最省？,解,设水厂离甲城xkm，水管 总费用为y万元，则,常用经济函数,1.需求函数与供应函数,市场对某种商品的需求量，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会使需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少在假定其它因素不变的条件下，市场需求量 可视为该商品价格 的函数，称为需求函数，记作,常见的需求函数有以下几种类型：,线性需求函数,1.1 函数,首页,上页,下页,3.7 导数在经济中的应用,1.需求函数与供应函数,某种商品的市场供给量也受商品价格的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少在假定其它因素不变的

5、条件下，供给量 也可看成价格 的函数，称为供给函数，记作,常见的供应函数有以下几种类型：,线性供给函数,1.1 函数,首页,上页,下页,1.需求函数与供应函数,一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数当市场上某种商品的需求量与供给量相等时，需求量与供给量持平，此时该商品市场处于平衡状态，称为供需平衡，这时商品的价格称为市场平衡价格或均衡价格，记为 ，对应的需求量称为均衡量，记为 。,1.1 函数,首页,上页,下页,1.1.3 常用经济函数,(1) 成本函数,：,总成本 由固定成本 和可变成本 两部分组成：,个单位产品时的平均成本为：,2. 成本函数、收入函数、利润函数,(

6、2) 收入函数,总收入函数 与产品的单价 和产量或销售量 有关 ，其式子为：,个单位产品时的平均收入为：,(3) 利润函数,个单位产品时的平均利润为：,总利润 等于总收入 与总成本 的差，所以总利润函数为 ：,总成本 由固定成本 和可变成本 两部分组成：,常用经济函数,3.7.最值在经济应用中的举例,设某产品的总成本函数为 （元）（为产品的产量），求当产量为多少时， 该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？,解：,该产品的平均产品函数为,令 ，即,求得唯一驻点 ，,又因为,所以 在 处取得最小值，最小值为 （元）,答案：当产品为250个单位，价格为175元/单位时， 利润最大，最大利润为169

7、50元,设某产品的价格与需求的关系为 ， 总成本函数 （元），求当产量和 价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大 利润,3.7.导数在经济分析中的应用,定义3.2,边际函数反映了函数在点处的 变化率。,设函数在点处可导，则导函数 称为函数的边际函数。也称为函数 在处的边际函数值。,求函数在点 处的边际 函数值。,解： ，,因为,所以,它表示函数在处，当改变一个单位时，函数近似地改变14个单位。,边际成本的定义,设成本函数可导（其中表示总成本，表示产量），则其边际函数称为边际成本函数，简称边际成本。称为当产量为时的边际成本。,3.导数在经济分析中的应用,其经济意义为：当产量达到时，如果增减

8、 一个单位产品，则成本相应增减个单位。,边际收益的定义,设收益函数可导（其中表示收益，表示商品销售量），则其边际函数称为边际收益函数，简称边际收益。称为当商品销售量为时的边际收益。,3.导数在经济分析中的应用,经济意义：销售量达到时，如果销售量增减 一个单位产品，则收益相应增减个单位。,边际利润的定义,设利润函数可导，则其边际函数 称为边际利润。称为当产量为 时的边际利润。,3.导数在经济分析中的应用,经济意义：当产量达到时，如果增减一个 单位产品，则利润相应增减个单位。,，,，,所以边际收入函数为,2.4 应用与实践,，,由收入函数 ，可得,上例表明，并非工厂生产的产品数量越多，收入越高。,

9、定义3.3,设函数在点处可导，称极限 为函数的弹性函数，记为，即,3.导数在经济分析中的应用,定义3.3,在点处，弹性函数值 称为函数在点处的弹性值，简称弹性。它 表示在点处，当变动1%时，的值 近似地变动。,3.导数在经济分析中的应用,解：,设函数，求其弹性函数以及 在处的弹性。,3.导数在经济分析中的应用,因为,所以弹性函数,于是，,2.4 应用与实践,，,为商品的需求价格弹性，简称需求弹性,二、需求弹性,2.4 应用与实践,，,2.4 应用与实践,，,定义3.4,3.导数在经济分析中的应用,设需求函数在处可导，则,称为该商品在处的需求弹性，记作 或，即,定义3.5,3.导数在经济分析中的

10、应用,设供给函数在处可导，则,称为该商品在处的供给弹性，记作 或，即,经济数学,设销售量是价格的函数，收益是商品价格与销售量的乘积，即 所以，收益弹性为,收益弹性及其与需求弹性的关系,3.导数在经济分析中的应用,根据收益弹性及其与需求弹性的关系可知：,（1）若，则收益弹性大于；需求变动的幅 度小于价格变动的幅度；价格上涨（或下跌）， 收益增加或减少。,（2）若，则收益弹性小于；需求变动的幅 度大于价格变动的幅度；价格上涨（或下跌）， 收益减少或增加 。,（3）若，则收益弹性等于；需求变动的幅 度等于价格变动的幅度；价格变动，收益不变。,3.导数在经济分析中的应用,经济数学,设某商品的需求函数为，求 需求弹性函数； 时的需求弹性，并说明其经济意义； 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？ 当取多少时，总收益最大？,3.导数在经济分析中的应用,经济数学,解：, 需求弹性函数：,因为需求函数为,，总收益函数为,，所以, 当时的需求弹性,经济数学,解：,3.导数在经济分析中的应用,这说明，在时，价格每上涨1%，则需求 减少0.54%；而价格若下降1%,则需求增加0.54%。, 当时的收益弹性；,所以，当时，价格上涨1%，总收益增加 0