第六章-Matlab数值计算1

1、第六章 MATLAB数值计算,数据处理与多项式计算 数值微积分 线性方程组求解 非线性方程与最优化问题求解 常微分方程的数值求解 稀疏矩阵,6.1 数据处理与多项式计算,6.1.1 数据统计与分析,(1) 最大值和最小值-向量 y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。 y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。,1、 求最大值与最小值,例求向量x的最大值。 x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向

2、量x中的最大值 y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置,max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。 Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。 max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。,(2) 最大值和最小值-矩阵,max(A(:),或者max(max(A)：求整个矩阵的最大元素； min(A(:),或者min(min(A)

3、：求整个矩阵的最小元素；,例： A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1 max(A,2) %求每行最大元素 min(A,2) %求每行最小元素 max(A) %求每列最大元素 min(A) %求每列最小元素 max(max(A) %求整个矩阵的最大元素 min(min(A) %求整个矩阵的最小元素,函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为： U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。 U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵

4、，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。 min函数的用法和max完全相同。,(3) 最大值和最小值-两个向量或矩阵对应元素的比较,例： x=4,5,6;1,4,8 y=1,7,5;4,5,7 p=max(x,y) f=4.5 P=max(x,f),p = 4 7 6 4 5 8 P = 4.5000 5.0000 6.0000 4.5000 4.5000 8.0000,X是一个向量； mean(X)：返回向量X的算术平均值； median(X)：返回向量X的中值； 当数据序列为奇数个时，是位于序列中间的值； 当数据序列为偶数个时，是中间两个数的均值；,2、 求平均值和中值,（1）求平均值

5、和中值向量,mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。 median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。,(2) 求平均值和中值矩阵,mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。 median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。,(3) 求平均值和中值矩阵,例：求向量y的平均值和中值 y=9 -2 5 6 7 12; mean(y) median(y),设X是一个向

6、量，A是一个矩阵，函数的调用格式为： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。,3、矩阵元素求和与求积,sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。,设X是一个向量 向量X累加和向量： 向量X累乘

7、积向量：,4、 矩阵元素累加和与累乘积,设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为： cumsum(X)：返回向量X累加和向量。 cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。 cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。 cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。 cumsum(A,dim) ，cumprod(A,dim),程序如下： A=1 2 3;4 5 6 cumsum(A) cumprod(A),结果如下： A = 1 2 3 4 5 6 ans = 1 2 3 5 7 9 ans = 1 2 3 4 10 18,对于向量X，st

8、d(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。,5、 标准方差,std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。 flag取0或1，当flag=0时，按S1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按S2所列公式计算标准方差。 缺省flag=0，dim=1。, x=4 5 6;1 4 8 x = 4 5 6 1 4 8 y1=std(x,0,1) y1 = 2.1213 0.7071 1.4142 y2=std(x,1,

9、1) y2 = 1.5000 0.5000 1.0000, y3=std(x,0,2) y3 = 1.0000 3.5119 y4=std(x,1,2) y4 = 0.8165 2.8674,例 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。,corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,6、 相关系数,例：生成满足正态分布的10000*5的随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。 X=randn(1

10、0000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X),M = 0.0011 0.0066 0.0009 0.0264 0.0101 D = 1.0011 1.0036 1.0049 1.0058 1.0061 R = 1.0000 0.0119 0.0051 -0.0114 -0.0011 0.0119 1.0000 0.0093 -0.0012 0.0071 0.0051 0.0093 1.0000 0.0048 0.0095 -0.0114 -0.0012 0.0048 1.0000 -0.0017 -0.0011 0.0071 0.0095 -0.0017

11、1.0000,排序函数sort(A)返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 Y,I=sort(A,dim,mode) 其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排； mode指明升序还是降序，若取ascend则按升序，若取descend，则按降序； Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,7、 元素排序,例：对矩阵排序 A=1 -8 5;4 12 6;13 7 -13 sort(A) sort(A,2,descend) X,I=sort(A),ans = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6 ans = 5 1 -8 12 6 4 1

12、3 7 -13,X = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6 I = 1 1 3 2 3 1 3 2 2,6.1.2 数据插值,在工程测量和科学实验中，所得数据通常都是离散的，如果要得到这些离散点以外的其它数值，就需要根据已知数据进行插值。 插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。 插值函数一般由线性函数、多项式、样条函数或这些函数的分段函数充当。 根据被插值函数的自变量个数，插值问题分为一维插值、二维插值和多维插值。,Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值； X1是

13、一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果； method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline； 注意：X1的取值范围不能超过X的给定范围。,1、 一维数据插值,linear： 线性插值（默认的方式）。它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据； near：最近点插值。根据已知插值点与已知数据的远近程度进行插值。插值点优先选择较近的数据点进行插值操作。 cubic：3次多项式插值。根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据该多项式进行插值。 spline：3次样条插值。在每个分段内构造一个3次多项式，使

14、其插值函数除满足插值条件外，还要求在各点处具有光滑的条件。,例：用不同的插值方法计算f(0.472) x=0.46:0.01:0.49; f=0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683; format long y1=interp1(x,f,0.472) y2=interp1(x,f,0.472,nearest) y3=interp1(x,f,0.472,cubic) y4=interp1(x,f,0.472,spline) format short subplot(2,2,1);plot(x,f,:,0.472,y1,p);title(linear); s

15、ubplot(2,2,2);plot(x,f,:,0.472,y2,p);title(nearest); subplot(2,2,3);plot(x,f,:,0.472,y3,p);title(cubic); subplot(2,2,4);plot(x,f,:,0.472,y4,p);title(spline);,T=0:5:65; X=2:5:57; F=3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,. 6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6; F1=interp1(T,F,X) F2

16、=interp1(T,F,X,nearest) F3=interp1(T,F,X,cubic) F4=interp1(T,F,X,spline) subplot(2,2,1);plot(T,F,X,F1,p);title(linear); subplot(2,2,2);plot(T,F,X,F2,p);title(nearest); subplot(2,2,3);plot(T,F,X,F3,p);title(cubic); subplot(2,2,4);plot(T,F,X,F4,p);title(spline);,例：某检测参数随时间T的采样结果如F，用数据插值法计算X时刻时F的值,Z1=i

17、nterp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值， X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。X1与Y1是相同长度的向量或不同方向的向量，Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。 同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围。,2、 二维数据插值,x=0:0.1:1;y=0:0.2:2; X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.2+Y.2; interp2(x,y,Z,0.5,0.5) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0

18、.4) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0.4,0.5) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0.4,0.5),例：设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。,ans = 0.5100 ans = 0.4100 0.5200 ans = 0.4100 0.6200 ans = 0.4100 0.5200 0.5100 0.6200,x=0:2.5:10; h=0:30:60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; xi=0:0.5:10; hi=0:10:60; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)

19、mesh(xi,hi,TI);,例：某实验对一根长10m的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点距离，用h表示测量时间，用T表示测得的各点温度。试用三次多项式插值求出一分钟内每隔10s、钢轨每隔0.5m处的温度。,6.1.3 曲线拟合,与数值插值类似，曲线拟合的目的也是用一个较简单的函数去逼近一个复杂的或未知的函数，所依据的条件都是在一个区间或一个区域上的有限个采样点的函数值。 数据插值要求逼近函数在采样点与被逼近函数相等； 曲线拟合的最优标准是采用常见的最小二乘原理，即构造一个m次多项式p(x) 使得上述拟合多项式在各点处的偏差的平方和达到最小。,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多

20、项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。 P,S=polyfit(X,Y,m) 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。 其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。 polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值。,X=linspace(0,2*pi,50); Y=sin(X); P1=polyfit(X,Y,3); P2=polyfit(X,Y,5) ; X=linspace(0,2*pi,20); Y=sin(X); Y1=polyval(P1,X); Y2=pol

21、yval(P2,X); plot(X,Y,b:o,X,Y1,g-*,X,Y2,r-p),例：分别用三次和五次多项式在区间0,2内逼近函数sinx,6.1.4 多项式计算,Matlab中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示，缺少的幂次项系数为0。如果n次多项式表示为： 则P(x)表示为向量形式：,多项式的加减法：就是其对应系数的加减法，如果次数不同，高次项用0补齐； 多项式乘法：conv(P1,P2) ：P1、P2是两个多项式系数向量； 多项式除法：Q,r=deconv(P1,P2) ，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。,1、 多

22、项式的四则运算,例：求两个多项式的加减乘除的结果。,f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g; f+g1 f-g1 conv(f,g) Q,r=deconv(f,g),p=polyder(P)：求多项式P的导函数 p=polyder(P,Q)：求PQ的导函数 p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。 上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。,2、 多项式的导函数,Y=polyval(P,x) 若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。

23、,3、 多项式求值代数多项式求值,例 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。,A=1,8,0,0,-10; x=1.2; y1=polyval(A,x) x=-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6 y2=polyval(A,x),y1 = 5.8976 x = -1.0000 1.2000 -1.4000 2.0000 -1.8000 1.6000 y2 = -17.0000 5.8976 -28.1104 70.0000 -46.1584 29.3216,(2) 多项式求值矩阵多项式求值 Y=polyvalm(P,x)函数用来求矩阵多项式

24、的值，要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。 设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A) 而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A),例 已知多项式x4+8x3-10，取一个22矩阵为自变量，分别用两个函数计算该多项式的值。,程序如下： A=1,8,0,0,-10; x=-1,1.2;2,-1.8; y1=polyval(A,x) y2=polyvalm(A,x),结果如下： y1 = -17.0000 5.8976 70.0000 -46.1

25、584 y2 = -60.5840 50.6496 84.4160 -94.3504,x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。,4、 多项式求根,例 求多项式x4+8x3-10的根。 A=1,8,0,0,-10; x=roots(A) 若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为： P=poly(x) 若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,6.2 数值微积分,在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数；有两种方法计算任意函数

26、f(x)在给定点x的数值导数 第一种：用多项式或样条函数g对f进行逼近（插值或拟合），然后用逼近函数g在点x处的导数作为f在点x处的导数； 第二种：用f在点x处的某种差商作为导数。,6.2.1 数值微分,在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；

27、dim=2，按行计算差分。,例：设x由0,2间均匀分布的10个点组成，求sinx的1-3阶差分。 X=linspace(0,2*pi,10) Y=sin(X) DY=diff(Y) D2Y=diff(Y,2) D3Y=diff(Y,3),观察结果向量的维数,例 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。,f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2); g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); dx=diff(f(x,3.01)/0.01; gx=g(x); plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-);,求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1