第一章函数与极限

1、教材:,高等数学(第六版) 微积分,同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社, 2007.4.,数学,数学,而且是一种思维模式;,不仅是一种知识,而且是一种素养;,不仅是一种科学,而且是一种文化;,能否运用数学观念定量思维是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志.,不仅是一种工具,数学,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿,

2、1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,主要内容,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,第一节,华罗庚,第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,一、 集合,1. 定

3、义及表示法,特定性质的事物的总体称为集合.,表示法：,(1) 列举法：,(2) 描述法：,开区间,闭区间,无限区间,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,定义下列运算:,或,二、 映射,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,引例2.,定义4.,设 X ,

4、Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域.,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,定义域,三、函数,1. 函数的概念,定义5. 设数集,则称映

5、射,为定义在,D 上的函数 ,记为,称为值域,函数图形:,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图像法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,绝对值函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.,对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .,(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I

6、上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 ., 其反函数,(减),(减) .

7、,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,内容小结,1. 集合及映射的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节,第一章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S .,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽,(刘徽割圆术),定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,

8、及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,例如,趋势不定,收 敛,发 散,例1. 求数列,的极限。,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,本节内容 :,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极

9、限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时, 必有,因此,只要,例3. 证明,证:,故,取,当,时, 必有,因此,第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第三节,无穷小与无穷大,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,为,时的无穷小 .,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,时, 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时

10、的无穷小 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,二、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于

11、无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系,第四节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,

12、时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,例2. 求,解:,例3. 求,解: 原式 =,例4. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,2.,证: 当,时, 设,则,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,思考与练习,填空题 ( 14 ),第七节,第一章,都是无穷小,第五节,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,

13、若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,常用等价无穷小 :,第八节,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第六节,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,