(极坐标与直角坐标方程)

1、直角坐标系与极坐标系,目标在哪？,在以为X轴 以为Y轴， 坐标是.,以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴,请问：去融安 二中怎么走？,以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴,脑子 进水了？,以立新街为X轴 以大桥东路为Y轴,精神病！,从这向北向 东南方向 3000米。,请问：去融安 二中怎么走？,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向东南走3000米！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线OX，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它

2、的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。,题组一:说出下图中各点的极坐标,平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定： 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,想一想？,点的极坐标的表

3、达式的研究,如图：OM的长度为4，,请说出点M的极坐标的其他表达式。,思考：这些极坐标之间有何异同？,思考：这些极角有何关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点M的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角,题组二:在极坐标系里描出下列各点:,极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、都可以作为它的极坐标.,如果限定0,02或 ,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,2.在极

4、坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(, ) C.(,) D.(,),A,B,题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),极坐标和直角坐标的互化,在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位,点M的直角坐标为,设点M的极坐标为(,),极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (,),x=cos, y=sin,互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正

5、半轴 重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.,例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标.,已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。,例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.,练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.,直线的极坐标方程,思考：在平面直角坐标系中,1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为,x=3,x=3,2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0 ，再化简并讨论。,怎

6、样求曲线的极坐标方程？,例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例题2:求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线L上除点A外的任意一点，

7、连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,求直线的极坐标方程步骤,1、据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方程,并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,练习：设点A的极坐标为A ,直线 过点A且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接OM，,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,则 由点P的极坐标知,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。,直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点，

8、且垂直于极轴,3、过某个定点，且与极轴成一定的角度,圆的极坐标方程,探究,如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,A,=2acos ,例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？, =r,练习1,求下列圆的极坐标方程 （）中心在极点，半径为； （）中心在（， ），半径为； （）中心在（，2），半径为；,2,-2acos ,2asin ,极坐标方程分别是cos和 sin的两个圆的圆心距是多少,练习2,参数方程的概念：,参数方程的概念：,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,

9、（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。,一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即 并且对于t 的每一个允值， 由方程组 所确定的点M(x,y)都在这条直线上，那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,圆的参数方程,练习: 如图，已知点P是半径是2的圆O上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标为（6，0）.当点P在圆上运动时,线段PQ的中点M的轨迹是什么?,解: 设点M的坐标是(x,y).因为圆O的参数

10、方程为,所以 可设点P的坐标为(2cos , 2sin ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为,参数方程和普通方程 的互化,（1）普通方程化为参数方程需要引入参数,如：直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程,（t为参数）,在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程,（为参数）,（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.,可得普通方程：y=2x-4,通过代入消元法消去参数t ,（x0）,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,例: 把下列参数方程化为普通方程，并说明 它们各表示什么曲线？,例:,椭圆 的参数方程为：,练习:1.把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）,。,练习,（1）当参数R时，化为普通方程是_. （2）当参数0，时，化为普通方程是_.,（1）(x-1)2+(y+3)2=4；,4、在参数方程,中，,练习: