高三数学总复习学案69

1、学案学案 69正态分布正态分布 导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 自主梳理 1正态分布密度曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数 ，(x)_(其中实数 和 (0)为参数)的图象为正 态分布密度曲线 (2)正态分布密度曲线的特点 曲线位于 x 轴_，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线_对称； 曲线在_处达到峰值_； 曲线与 x 轴之间的面积为_； 当 一定时，曲线随着_的变化而沿 x 轴移动； 当 一定时，曲线的形状由 确定_，曲线越“高瘦” ，表示总体的分布越 集中；_，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散 2正态分布 (1)正态分布的定义

2、及表示 如果对于任何实数 a， b (ab)， 随机变量 X 满足 P(aXb)_， 则称随机变量 X 服从正态分布，记作_ (2)正态分布的三个常用数据 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_. 自我检测 1(2011大连模拟)下列说法不正确的是() A若 XN(0,9)，则其正态曲线的对称轴为 y 轴 B正态分布 N(，2)的图象位于 x 轴上方 C所有的随机现象都服从或近似服从正态分布 D函数 (x) (xR)的图象是一条两头低、中间高、关于 y 轴对称的曲线 1 2 2 2 x e - 2已知随机变量 服从正态分布 N(3，2)，则 P(3)等于() A. B. C. D. 1

3、 5 1 4 1 3 1 2 3(2011湖北)已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则 P(00)和 N(2， ) (20)的密度函数图 2 12 2 象如图所示，则有() A12，12 B12 C12，12，12 探究点一正态曲线的性质 例 1 如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正 态总体随机变量的均值和方差 变式迁移 1若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 . 1 4 2 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(4,4的概率 探究点二服从正态分布的概率计算 例 2 设 XN

4、(5,1)，求 P(6X7) 变式迁移 2设 XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；(2)P(31230 B01212130 D0121c1)P(4) 等于() A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5 5已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 XN(110，52)，据此估计，大约应 有 57 人的分数在下列哪个区间内？() A(90,110 B(95,125 C(100,120 D(105,115 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6. 设三个正态分布 N(1， ) (10)，N(2， ) (20)，N(3， ) (30)的密度函数图象

5、如 2 12 22 3 图所示，则 1、2、3按从小到大的顺序排列是_；1、2、3按从小到大的顺序排 列是_ 7在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N(1，2)(0)若 在(0,1)内取值的概率 为 0.4，则 在(0,2)内取值的概率为_ 8 (2011青岛模拟)已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， P(4)0.84， 则 P(0) _. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)设 XN(10,1) (1)证明：P(1X2)P(18X19)； (2)设 P(X2)a，求 P(10X18) 10(12 分)已知某种零件的尺寸 X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上

6、是 增函数，在(80，)上是减函数，且 (80). 1 8 2 (1)求正态分布密度函数； (2)估计尺寸在 72 mm88 mm 间的零件大约占总数的百分之几？ 11(14 分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正 态分布 N(60,100)，已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人 (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 学案学案 69正态分布正态分布 自主梳理 1(1)，x(，)(2)上方xx1 1 2 () 2 2 2 x e m s - - 1 2 越小越大 2(1)

7、 ，(x)dxXN(，2) b a () 2 80 128 x e - - (2)0.682 60.954 40.997 4 自我检测 1C 2D由正态分布图象知，3 为该图象的对称轴， P(3) . 1 2 3C P(4)0.2， 由题意知图象的对称轴为直线 x2， P(4)0.2， P(04)1P(4)0.6. P(02) P(04)0.3. 1 2 4D由 (x)对照得 2，0，E()0， 1 2 () 2 2 2 x e m s - - 1 8 2 8 x e - D 2. 5A由正态分布 N(，2)性质知，x 为正态分布密度函数图象的对称轴，故 12；又 越小，图象越高瘦，故 12.

8、 课堂活动区 例 1 解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析 式中的两个参数 ， 的值，其中 决定曲线的对称轴的位置， 则与曲线的形状和最大值 有关 解从给出的正态曲线可知， 该正态曲线关于直线 x20 对称， 最大值为， 所以 1 2 20. 由，解得 . 1 2 1 2 2 于是正态分布密度曲线的解析式是 ，(x)，x(，) 1 2 () 2 20 4 x e - - 均值和方差分别是 20 和 2. 变式迁移 1解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数， 所以其图象关 于 y 轴对称，即 0.由， 1 2 1 24 得 4， 故该正态分布的正态分布

9、密度函数的解析式是 ，(x)，x(，) 1 4 2 2 32 x e - (2)P(4X4)P(04X04) P(X)0.682 6. 例 2 解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正 态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上 解由已知 5，1. P(4X6)0.682 6， P(3X7)0.954 4， P(3X4)P(6X7) 0.954 40.682 60.271 8. 如图，由正态曲线的对称性可得 P(3X4)P(6X7) P(6X7)0.135 9. 0.271 8 2 变式迁移 2解XN(1,22)，1，2. (1)P(1X3)P(12X12)

10、P(X) 0.682 6. (2)P(3X5)P(3X1)， P(3X5) P(3X5)P(1X3) 1 2 P(14X14)P(12X12) 1 2 P(2X2)P(X) 1 2 (0.954 40.682 6)0.135 9. 1 2 (3)P(X5)P(X3)， P(X5) 1P(3X5) 1 2 1P(14X14) 1 2 1P(2X2) 1 2 (10.954 4)0.022 8. 1 2 例 3 解题导引正态分布已经确定，则总体的期望 和标准差 就可以求出，这样 就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解 解N(90,100)，90，10.100 (1)由于正态变量在区

11、间(2，2)内取值的概率是 0.954 4，而该正态分布中， 29021070，290210110，于是考试成绩 位于区间(70,110)内的概率 就是 0.954 4. (2)由 90，10，得 80，100. 由于正态变量在区间(，)内取值的概率是 0.682 6， 所以考试成绩 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6. 一共有 2 000 名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 0000.682 61 365(人) 变式迁移 3解成绩服从正态分布 N(80,52)， 80，5，75，85. 于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的 68.26%. 这样成绩

12、在(80,85内的同学占全班同学的 34.13%. 设该班有 x 名同学，则 x34.13%17，解得 x50. 又 2801070，2801090， 成绩在(70,90内的同学占全班同学的 95.44%. 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.28%. 即有 502.28%1(人)即成绩在 90 分以上的仅有 1 人 课后练习区 1D0，且 21，11. 2BN(2,9)，P(c1)P(c1)P(110)P(X3)， P(X50)P(X110)P(X4)P(X4)0.158 7. 1P2 X 4 2 5C由于 XN(110,52)，110，5. 因此考试成绩在区间(105,115，(1

13、00,120，(95,125上的概率分别应是 0.682 6,0.954 4,0.997 4. 由于一共有 60 人参加考试， 成绩位于上述三个区间的人数分别是： 600.682 641(人)，600.954 457(人)， 600.997 460(人)， 故大约应有 57 人的分数在(100,120区间内 6213132 70.8 解析 服从正态分布(1，2)， 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4. 在(0,2)内取值概率为 0.40.40.8. 80.16 解析2，P(0)P(4) 1P(4)10.840.16. 9(1)证明因为 XN(10,1)，所以，正态曲线 ，(x

14、)关于直线 x10 对称，而区间 1,2和18,19关于直线 x10 对称，所以 ，(x)dx ，(x)dx， 2 11918 即 P(1X2)P(18X19) (6 分) (2)解P(10X18)P(2X10) P(X10)P(X2) a.(12 分) 1 2 10解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲 线关于直线 x80 对称，且在 x80 处取得最大值因此 80，所以 8. 1 2 1 8 2 故正态分布密度函数解析式是 ，(x).(6 分) 1 8 2 () 2 80 128 x e - - (2)由 80，8，得 80872，80888， 所以零件尺寸 X 位于区间(72,88)内的概率是 0.682 6. 因此尺寸在 72 mm88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%.(12 分) 11解(1)设参加竞赛的学生人数共 n 人 则 P(X90)，(2 分) 13 n 而 P(X90)1P30 X 90 2 0.001 3. 1P6030 X 6030 2 10.997 4 2 (6