高三数学总复习学案55

1、学案学案 55曲线与方程曲线与方程 导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系 自主梳理 1曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一 个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系： (1)_都是这个方程的_ (2)以这个方程的解为坐标的点都是_， 那么， 这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线 2平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过曲线的方程研究曲线的性质 3求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系

2、，用有序实数对(x，y)表示_； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P_； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0； (4)化方程 f(x，y)0 为_； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_ 自我检测 1(2011湛江月考)已知动点 P 在曲线 2x2y0 上移动，则点 A(0，1)与点 P 连线中 点的轨迹方程是() Ay2x2 By8x2 C2y8x21 D2y8x21 2一动圆与圆 O： x2y21 外切，而与圆 C： x2y26x80 内切，那么动圆的圆心 P 的轨迹是() A双曲线的一支 B椭圆 C抛物线 D圆 3(2011佛山模拟)已知直线 l

3、的方程是 f(x，y)0，点 M(x0，y0)不在 l 上，则方程 f(x， y)f(x0，y0)0 表示的曲线是() A直线 l B与 l 垂直的一条直线 C与 l 平行的一条直线 D与 l 平行的两条直线 4若 M、N 为两个定点且|MN|6，动点 P 满足0，则 P 点的轨迹是()PM PN A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5 (2011江西)若曲线 C1： x2y22x0 与曲线 C2： y(ymxm)0 有四个不同的交点， 则实数 m 的取值范围是() A(，) B(，0)(0，) 3 3 3 3 3 3 3 3 C， D(，)(，) 3 3 3 3 3 3 3 3 探究点一直接法

4、求轨迹方程 例 1 动点 P 与两定点 A(a,0)，B(a,0)连线的斜率的乘积为 k，试求点 P 的轨迹方程， 并讨论轨迹是什么曲线 变式迁移 1已知两点 M(2,0)、N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN MP 0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为_MN NP 探究点二定义法求轨迹方程 例 2 (2011包头模拟)已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4. 动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并 说明轨迹是何种曲线 变式迁移 2在ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B，C，且满足条

5、件 ( a 2，0) ( a 2，0) sin Csin B sin A，则动点 A 的轨迹方程是() 1 2 A.1 (y0) 16x2 a2 16y2 15a2 B.1 (x0) 16y2 a2 16x2 3a2 C.1 (y0)的左支 16x2 a2 16y2 15a2 D.1 (y0)的右支 16x2 a2 16y2 3a2 探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程 例 3 如图所示，从双曲线 x2y21 上一点 Q 引直线 xy2 的垂线，垂足为 N.求线 段 QN 的中点 P 的轨迹方程 变式迁移 3已知长为 1的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P2 是

6、AB 上一点，且.求点 P 的轨迹 C 的方程AP 2 2 PB 分类讨论思想的应用 例 (12 分) 过定点 A(a，b)任作互相垂直的两直线 l1与 l2，且 l1与 x 轴交于点 M，l2与 y 轴交于点 N，如图所示，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程 多角度审题 要求点 P 坐标，必须先求 M、N 两点，这样就要求直线 l1、l2，又 l1、l2 过定点且垂直，只要 l1的斜率存在，设一参数 k1即可求出 P 点坐标，再消去 k1即得点 P 轨 迹方程 【答题模板】 解(1)当 l1不平行于 y 轴时，设 l1的斜率为 k1，则 k10.因为 l1l2， 所以 l2的斜率为 ， 1

7、 k1 l1的方程为 ybk1(xa)， l2的方程为 yb (xa)， 1 k1 在中令 y0，得 M 点的横坐标为 x1a ，4 分 b k1 在中令 x0，得 N 点的纵坐标为 y1b ，6 分 a k1 设 MN 中点 P 的坐标为(x，y)，则有Error! 消去 k1，得 2ax2bya2b20 (x )8 分 a 2 (2)当 l1平行于 y 轴时，MN 中点为，其坐标满足方程. ( a 2， b 2) 综合(1)(2)知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax2bya2b20.12 分 【突破思维障碍】 引进 l1的斜率 k1作参数，写出 l1、l2的直线方程，求出 M、N

8、的坐标，求出点 P 的坐标， 得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线 l1的斜率是否存在 【易错点剖析】 当 AMx 轴时，AM 的斜率不存在，此时 MN 中点为，易错点是把斜率不存在的 ( a 2， b 2) 情况忽略，因而丢掉点. ( a 2， b 2) 1求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系，这些条件简单明确，易于表达成含 x，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为 直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步 骤，但最后的证明可以省略(2)定义法 ： 运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的 定义)

9、，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点 P(x，y) 却随另一动点 Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将 x，y表示为 x、y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然后整理得 P 的轨迹方 程，代入法也称相关点法(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵 坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使 x、y 之间建立起联系，然后再从所求式 子中消去参数，得出动点的轨迹方程 2本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义

10、求曲线方程时，应考 虑是否符合曲线的定义 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆的一个动点，如果 M 是线段 F1P 的中点，则动 点 M 的轨迹是() A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 2(2011唐山模拟)已知 A、B 是两个定点，且|AB|3，|CB|CA|2，则点 C 的轨迹为 () A双曲线 B双曲线的一支 C椭圆 D线段 3长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，2，则点 C 的轨迹AC CB 是() A线段 B圆 C椭圆 D双曲线 4(2011银川模拟)如图，圆 O：x2y21

11、6，A(2，0)，B(2,0)为两个定点直线 l 是 圆 O 的一条切线，若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是 () A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆 5已知 F1、F2是椭圆 1 的两个焦点，平面内一个动点 M 满足|MF1|MF2|2， x2 4 y2 3 则动点 M 的轨迹是() A双曲线 B双曲线的一个分支 C两条射线 D一条射线 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于_ 7(2011泰安月考)已知ABC 的顶点 B(0,0)

12、，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶 点 A 的轨迹方程为_ 8平面上有三点 A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点 C 的轨迹方程为 (0， y 2) AB BC _ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知抛物线 y24px (p0)，O 为顶点，A，B 为抛物线上的两动点，且满足 OA OB，如果 OMAB 于点 M，求点 M 的轨迹方程 10(12 分)(2009宁夏，海南)已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M

13、为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，求点 M |OP| |OM| 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 11(14 分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，有一个以 F1(0，)和 F2(0，3 )为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点3 3 2 P 处的切线与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，且.求：OM OA OB (1)点 M 的轨迹方程； (2)|的最小值OM 学案学案 55曲线与方程曲线与方程 自主梳理 1(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点 M 的坐标 (2)M|p(M)(4)最简形

14、式(5)曲线上 自我检测 1C2.A3.C4.A 5B C1：(x1)2y21， C2：y0 或 ymxmm(x1) 当 m0 时，C2：y0，此时 C1与 C2显然只有两个交点； 当 m0 时，要满足题意，需圆(x1)2y21 与直线 ym(x1)有两交点，当圆与直线 相切时，m， 3 3 即直线处于两切线之间时满足题意， 则m0 或 0m. 3 3 3 3 综上知m0 或 0mB0，表示焦点在 x 轴上的椭圆； 2AB0，表示圆； 30A0B，表示焦点在 x 轴上的双曲线； 5A0B，表示焦点在 y 轴上的双曲线； 6A，B0，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两点)

15、 若 k0，(*)式可化为1. x2 a2 y2 ka2 1当1k0 时，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、B 两点)； 2当 k1 时，(*)式即 x2y2a2，点 P 的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去 A、B 两点)； 3当 k1 时，点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点) 变式迁移 1y28x 解析由题意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，MN MP NP |0，MN MP MN NP (x2)4y00，4202x22y2 移项两边平方，化简得 y28x. 例 2 解题导引(1)由于动点 M 到两定点 O1、O2的距离的差为常数，故

16、应考虑是否符 合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其 方程，而不需再将几何等式借助坐标转化； (2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前 者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围) 解 如图所示， 以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 由|O1O2| 4， 得 O1(2,0)、O2(2,0) 设动圆 M 的半径为 r，则 由动圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1； 由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2. |MO2|MO1|34. 点 M 的轨迹

17、是以 O1、O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支a ，c2，b2c2 3 2 a2 . 7 4 点 M 的轨迹方程为1 (xb0) x2 a2 y2 b2 连接 MO，由三角形的中位线可得 |F1M|MO|a (a|F1O|)，则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆 2BA、B 是两个定点，|CB|CA|24|AB|. 根据椭圆的定义知，焦点 F 的轨迹是一个椭圆 5D因为|F1F2|2，|MF1|MF2|2， 所以轨迹为一条射线 64 解析设 P(x，y)，由题知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得 x24xy20，配方 得(x2)2y24，可知圆的面积为 4. 7(x10)2

18、y236 (y0) 解析方法一直接法 设 A(x，y)，y0，则 D， ( x 2， y 2) |CD| 3. ( x 25) 2y 2 4 化简得(x10)2y236， A、B、C 三点构成三角形， A 不能落在 x 轴上，即 y0. 方法二 定义法如图所示， 设 A(x，y)，D 为 AB 的中点，过 A 作 AECD 交 x 轴于 E， 则 E(10,0) |CD|3，|AE|6， A 到 E 的距离为常数 6. A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆， 即(x10)2y236. 又 A、B、C 不共线，故 A 点纵坐标 y0. 故 A 点轨迹方程为(x10)2y236 (y0) 8

19、y28x 解析，.AB (2， y 2) BC (x， y 2) ，0，AB BC AB BC 得 2x 0，得 y28x. y 2 y 2 9解设 M(x，y)，直线 AB 斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 ykxb. 由 OMAB 得 k . x y 设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 由 y24px 及 ykxb 消去 y， 得 k2x2x(2kb4p)b20，所以 x1x2. b2 k2 消去 x，得 ky24py4pb0， 所以 y1y2.(4 分) 4pb k 由 OAOB，得 y1y2x1x2， 所以，b4kp. 4pb k b2 k2 故 ykxbk(x4p)(8 分) 用 k 代入， x y 得 x2y24px0 (x0)(10 分)