人教大纲版高考数学题库考点23两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用

1、 考点 23 两个计数原理、排列、组合及其应用、考点 23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 二项式定理及应用 1.（2010湖北高考文科6）现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择 其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A） 6 5 （B） 5 6 （C） 5 6 5 4 3 2 2 （D）6 5 4 3 2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故 6 名同学的安排可分 6 步进行，每步均有 5 种选 择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】 选 A.每

2、名同学可自由选择 5 个讲座中的其中一个讲座，故 6 名同学的安排可分 6 步进行，每 步均有 5 种选择，因此共有 6 5种不同选法. 【方法技巧】 本题每名同学可自由选择其中的一个讲座， 故每位同学的选择都有 5 种， 共有 6 5种不同选法. 若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听” ，它就是一个典 型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将 6 名同学分为 5 堆，再分给 5 个不同的讲座， 有 25 65 1800C A 1 800 种不同选法. 2.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服

3、务活动， 每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能 力 【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特 殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排 1 人；司机安排 2 人，然后将其余的人安排 到其他三个不同的位置. 【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时，有 123 343

4、 C C A=108(种)；当司机安排 2 人时有 23 33 C A=18(种).由分 类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分 堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有 3 种选择，丙、丁、 戊各有 4 种选择，因此共有3 3 4 4 4576 （种）安排方案. 3.（2010全国高考卷理科6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若 每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放

5、法共有( ) （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从 3 个信封中选取一个放入标号为 1，2 的 2 张卡片，然后剩 余的 2 个信封分别放入 2 张卡片. 【规范解答】选 B.标号为 1，2 的卡片放法有 A1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4C C种，所以共有 A1 3 2 2 2 4C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法. 4.（2010全国卷理科6） 某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若 要求两

6、类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关 计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想. 【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中 各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A 和全部选修 B”. 【规范解答】选 A.方法一：可分以下 2 种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 12 34 C C种不同的 选法；A 类选修课选 2 门,

7、B 类选修课选 1 门,有 21 34 C C种不同的选法.所以不同的选法共有 12 34 C C+ 21 34 18 1230C C （种）. 方法二：事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A 和全部选修 B” ， 两类课程中各至少选一门的种数为 333 734 30CCC（种）. 【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径: (1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.

8、 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法. 5.（2010四川高考文科9）由 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且 1，2 都不与 5 相邻的 5 位数的个 数是（ ） (A)36 (B)32 (C)28 (D)24 【命题立意】 本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排 5，再排 1,2.分两类：5 在两端，1,2 有三个位置可选择；5 不在两端，1，2 有 两个位置可选择. 【规范解答】选 A.如果 5 在两端，则 1，2 有三个位置可选，排法为 22 32 224A A（种） ； 如果 5 不在两 端，则 1，2

9、只有两个位置可选， 排法有 22 22 312A A（种） ，共计 24+12=36（种）. 【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解. 6.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动， 每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) (A)152 (B)126 (C)90 (D)54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能 力 【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项

10、工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特 殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排 1 人；司机安排 2 人，然后将其余的人安排 到其他三个不同的位置. 【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时，有 123 343 C C A=108(种)；当司机安排 2 人时有 23 33 C A=18(种).由分 类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126(种). 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分 堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有 3 种选择，丙、丁、 戊各有 4 种选择

11、，因此共有3 3 4 4 4576 (种)安排方案. 7.（2010重庆高考文科0）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班， 每天安排 2 人，每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有（ ） (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨 论的思想方法. 【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工. 【规范解答】选 C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在 15 日值班，其余四人的值班

12、安排方法有 22 42 6C C （种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在 15 日或 16 日值班，若甲在 16 日值班，则 有 122 442 24C C C （种） ；若甲在 15 日值班，则乙只能在 14 日值班，共有 112 432 12C C C （种） ，所以共有 624 1242（种）. 【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论. 8.（2010四川高考理科10）由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数是（ ） （A）72 （B）96 （C）108 （D）144 【命题立意】本题主要考查了有限制

13、条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能 力. 【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有 3 种选法；第二步考虑 1，3 相邻的问题， 分两类：一类是 1，3 相邻，且都不与 5 相邻，另一类 1,3,5 均不相邻. 【规范解答】选 C.第一步： 由于是组成一个 6 位的偶数，那么尾数就应该是在 2，4，6 中选， 有种方法.第二步：又因为 1，3 不与 5 相邻，将其分为两类：先将剩下的 2 个偶数排好有 2 2 A 1 3 C 种排法，1 和 3 捆绑，再与 5 插空有 22 32 AA种插法，共有 222 232 AAA种排法；先将剩下的 2 个 偶数排

14、好有 2 2 A种排法，把 1，3，5 插空，有 3 3 A种插法，共有 32 32 AA种排法,故符合题意的所有 偶数有 122223 323223 108C AAAAA（个）. 32 32 A A 180 【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论. 9.（2010重庆高考理科9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方 案共有（ ） （A）504 种 （B）960 种 （C）1 008 种 （D）1

15、 108 种 【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨 论的思想方法. 【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工. 【规范解答】选 C.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有 4 种选择，共有安排方案 214 244 192A C A （种）.（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有 4 种选择，共有 214 244 192A C A （种）.（3）若甲、乙安 排在中间 5 天，选择两天有 4 种可能，若丙安排在 10 月 7 日，丁有 4 种安排法，共有 213 243 4192A C A （种） ； 若丙安排在中间 5 天的其他

16、 3 天，则丁有 3 种安排法，共有 2113 2333 4432A C C A（种） ，所以共有 192 192 19243210081 008（种）. 【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用 到分类枚举法.例如，丙不在 10 月 1 日，则考虑在 10 月 7 日和 10 月 2 日至 10 月 6 日中三天的情形. 10.（2010重庆高考文科） 4 (1)x的展开式中 2 x的系数为（ ） （A）4 （B）6 （C）10 （D）20 【命题立意】 本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力， 考

17、查方程的思想. 【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开. 【规范解答】选 B.方法一： 4 14 rr r TC x ，令42r，则2r ，所以 2 4 6C . 方法二：杨辉三角中有一行的系数 1 4 6 4 1，即为 4 (1)x的展开式的系数，故 x2的系数为 6. 方法三： 422222222 (1)(21)(1)2 (1)4 (1)4xxxxxxx xx 432 46xxx41x. 【方法技巧】 （1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算. 11.（2010江西高考文科） 10 (1)x展开式中 3 x项的

18、系数为( ) (A)720(B)720(C)120(D)120 【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用 【思路点拨】先写出通项，再令x的次数为 3，求出r的值，最后求系数. 【规范解答】选 D.,)( 101 rr r xCT 其中r可取 0，1，2，.，10，令3r 得 3 x项的系数为 ,120) 1( 33 10 C故选 D. 12. （2010江西高考理科） 8 (2)x展开式中不含 4 x项的系数的和为( ) （A）1 （B）0 （C）1 （D）2 【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用，还考查函数的求值，考查数学中常用的 函数思想 【思路点拨】先求所有项的系

19、数和， 再求含 4 x项的系数，最后相减. 【规范解答】选令 8 ( )(2)f xx得所有项的系数和1) 1 (f，又通项 rrr r xCT)(28 81 ，其 中 r 可取 0，1，2，8，令 r=8 得 448 89 xxCT ，所以不含 4 x项的系数的和为01) 1 (f. 13. （2010全国卷文科5） 43 (1) (1)xx的展开式中 2 x的系数是（ ） (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 【命题立意】本题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及 能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力. 【思

20、路点拨】利用二项展开式分别将两个因式展开，再应用多项式的乘法公式进行运算. 【规范解答】选 A. 2 x的系数是 6612. 14.（2010全国卷理科5） 353 (12) (1)xx的展开式中x的系数是( ) (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【命题立意】本题主要考查利用二项展开式通项 1 r T求展开式中特定项，充分考查学生的运算能力. 【思路点拨】利用 n ba)( 展开式中第1 r项 rrnr nr baCT 1 )210(nr， 将两式展开， 确定x的系数. 【规范解答】选 C. 124513 353 333322 (12) (1)1 61281 510105xx

21、xxxxxxxx x的系数是21210. 15.（2010江西高考文科14）将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会 的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）. 【命题立意】 本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原 理 【思路点拨】先确定分组数，再求分配方案种数.注意均分组问题. 【规范解答】 由题意，共分组数为,15 2 2 2 3 2 5 A CC 每种分组对应分配方案6 3 3 A种，所以 共15 690(种). 【答案】90 【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题

22、一定要把握好是有序均分 还是无序均分例如，共 6 人，分成 2，2，1，1 的四组中有两对均分组，也可表达为 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 6 A CC A CC .这 一点在今后解题中一定要引起特别注意. 16.（2010江西高考理科）将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分 赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种（用数字作答） 【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原 理 【思路点拨】先求分成 4 组的方法数，再确定分配方案种数. 【规范解答】由题意可知，分成 4 组共有 2 2

23、2 4 2 6 A CC 种分法，故不同的分配方案有 4 4 2 2 2 4 2 6 A A CC =1 080(种). 【答案】1 080 【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分 还是无序均分.例如，本题中先分成的四组中有两对均分组，也可表达为 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 6 A CC A CC .这一点在今后 解题中一定要引起特别注意. 17.（2010全国高考卷文科14） 9 1 ()x x 的展开式中， 3 x的系数是_. 【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式. 【思路点拨】由二项式定理得通项 rrrrr xC

24、x xCT 29 9 9 9 ) 1 ( 1r ，令x的指数为 3 求出r,从而确定 3 x的系数. 【规范解答】 rrrrr xC x xCT 29 9 9 9 ) 1 ( 1r ，令923r得3r .所以 3 x的系数是 3 9 C84. 【答案】84 18.（2010湖北高考文科11）在 2 10 (1)x的展开中， 4 x的系数为_. 【命题立意】本题主要考查二项展开式的特定项，同时考查考生的运算求解能力 【思路点拨】由二项展开式的通项找出 4 x项对应的r，再计算对应的系数即得. 【规范解答】 由，0,1,10r 知： 4 x项对应的r为 2，故 4 x的系数为 r2rrr2r r 11010 T=C (-x ) =(-1) C x 2 10 45C. 【答案】45 【方法技巧】求二项展开式的特定项，只需利用通项找出对应的r值，带入通项计算即得. 19.（2010四川高考文科13） 4 2 ()x x 的展开式中的常数项为 (用数字作答). 【命题立意】本题主要考查二项式定理的展开式的通项公式及幂的运算. 【思路点拨