高三数学总复习学案58

1、学案学案 58变量间的相关关系变量间的相关关系 导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关 关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 自主梳理 1两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中， 点散布在从_到_的区域， 对于两个变量的这种相关关系， 我们将它称为正相关 (2)负相关 在散点图中， 点散布在从_到_的区域， 两个变量的这种相关关系称为负 相关 (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近， 我们就称这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线 2回归方程 (1)

2、最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的_的方法叫做最小二乘 法 (2)回归方程 方程 x 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，y b a (xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数a b 自我检测 1下列有关线性回归的说法，不正确的是() A相关关系的两个变量不一定是因果关系 B散点图能直观地反映数据的相关程度 C回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D任一组数据都有回归直线方程 2(2009海南，宁夏)对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，得散点图(1)； 对变量 u， v 有观测数据(ui， vi)(i1,2， 10

3、)， 得散点图(2) 由这两个散点图可以判断() A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 3(2011银川模拟)下表是某厂 14 月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份 x1234 用水量 y4.5432.5 由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是 y 0.7x ，则 等于()a a A10.5 B5.15 C5.2 D5.25 4(2010广东)某市居民 20052009 年家庭年平均收入 x(单

4、位：万元)与年平均支出 Y(单位：万元)的统计资料如下表所示： 年份20052006200720082009 收入 x11.512.11313.315 支出 Y6.88.89.81012 根据统计资料， 居民家庭年平均收入的中位数是_， 家庭年平均收入与年平均支出有_线性相关关系 5(2011金陵中学模拟)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线 性关系，则其回归方程是_. 探究点一利用散点图判断两个变量的相关性 例 1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计， 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表： 温度 () 50

5、4712151923273136 热饮 杯数 156150132128130 11 6 10489937654 (1)画出散点图； (2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？ 变式迁移 1某班 5 个学生的数学和物理成绩如表： 学生 学科 ABCDE 数学8075706560 物理7066686462 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？ 探究点二求回归直线方程 例 2 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有以下统计资料： 使用年限 x23456 维修费用 y2.23.85.56.57.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系试求回归方程 x

6、.y b a 变式迁移 2已知变量 x 与变量 y 有下列对应数据： x1234 y 1 2 3 2 23 且 y 对 x 呈线性相关关系，求 y 对 x 的回归直线方程 探究点三利用回归方程对总体进行估计 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x3456 y2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 x ；y b a (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据(2)求出的回归方程， 预测生产 10

7、0 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：32.5435464.566.5) 变式迁移 3(2011盐城期末)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x之间的关系，随机 统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温()1813101 用电量(度)24343864 由表中数据得回归方程 x 中 2，预测当气温为4时，用电量的度数y b a b 约为_ 1相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系而相关关 系是一种非确定性关系， 即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系 函数关系是 一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 2回归

8、直线方程：设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量，且相应于 n 个观测值的 n 个 点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为 y 对 x 的回归函数的类型为直线型： x .其中y b a 我们称这个方程为 y 对 x 的回归直线方程其中 xi， yi，( ， )称为样本x 1 n n i1 y 1 n n i1 xy 点的中心 3求回归直线方程的步骤：(1)计算出 、x 、xiyi的值；(2)计算回归系数 、 ；x y n i1 2 i n i1 a b (3)写出回归直线方程 x .y b a (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1下列命题： 线性回归方法就是由

9、样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； 利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； 通过回归直线 x 及回归系数 ，可以估计和预测变量的取值和变化趋势y b a b 其中正确的命题是() A B C D 2设有一个回归直线方程为 21.5x，则变量 x 增加一个单位时()y Ay 平均增加 1.5 个单位 By 平均增加 2 个单位 Cy 平均减少 1.5 个单位 Dy 平均减少 2 个单位 3(2011陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)

10、，以下结论中正确的是() Ax 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 Bx 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D直线 l 过点( ， )xy 4(2011山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元)4235 销售额 y(万元)49263954 根据上表可得线性回归方程 x 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元y b a b 时销售额为() A63.6 万元 B65.5 万元 C67.7 万元 D72.0 万元 5(2011青岛模拟)为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性

11、，甲、乙两位同学各自 独立做了 10 次和 15 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 l1、l2，已知两 人所得的试验数据中，变量 x 和 y 的数据的平均值都相等，且分别是 s、t，那么下列说法中 正确的是() A直线 l1和 l2一定有公共点(s，t) B直线 l1和 l2相交，但交点不一定是(s，t) C必有 l1l2 Dl1与 l2必定重合 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6下列关系中，是相关关系的为_(填序号) 学生的学习态度与学习成绩之间的关系； 教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； 家庭的经济条件与学生的学习

12、成绩之间的关系 7已知回归直线的斜率的估计值是 0.73，样本点的中心为(12.5,8.25)，则回归直线的回 归方程是_ 8 (2011茂名月考)在研究硝酸钠的可溶性程度时， 观测它在不同温度的水中的溶解度， 得观测结果如下表： 温度(x)010205070 溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0 则由此得到回归直线的斜率为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011威海模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间， 为此做了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数 x(个)2345 加工的时间 y(小时)2.5344.5 (1)在给定的坐标系中画出

13、表中数据的散点图； (2)求出 y 关于 x 的回归方程 x ，并在坐标系中画出回归直线；y b a (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间？ (注： ， )b n i1xiyinx y n i1x2 inx2 a yb x 10(12 分)(2010许昌模拟)某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元)之间有如 下对应数据： x24568 y3040605070 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)试预测宣传费支出为 10 万元时，销售额多大？ 11(14 分)某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： 月份产量(千件)单位成本(元) 1273 2372 3471 4

14、373 5469 6568 (1)求出回归方程； (2)指出产量每增加 1 000 件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？ 学案学案 58变量间的相关关系变量间的相关关系 自主梳理 1(1)左下角右上角(2)左上角右下角2.(1)距离的平方和最小(2) n i1 xixyi y n i1 xi x 2 n i1xiyinx y n i1x2 inx2 yb x 自我检测 1D2.C3.D 413正5. xy 7 4 23 4 课堂活动区 例 1 解题导引判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点 图 散点图是由大量数据点分布构成的，

15、 是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的， 对 于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度 解(1)以 x 轴表示温度，以 y 轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示 (2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售 杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少 从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近 变式迁移 1解以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图 所示： 由散点图可见，两者之间具有相关关系 例 2 解题导引根据题目给出的数据，利用公式求回归系数，然后获得回归方程 解制表如下： i

16、12345合计 xi2345620 yi2.23.85.56.57.025 xiyi4.411.422.032.542.0112.3 x2 i4916253690 4； 5； x2i90；xiyi112.3xy 5 i1 5 i1 于是有 1.23；b 112.35 4 5 905 42 12.3 10 51.2340.08.a yb x 回归直线方程为 1.23x0.08.y 变式迁移 2解 ，x 1234 4 5 2 ，y 1 2 3 223 4 7 4 x 1222324230， n i1 2 i xiyi1 2 3243， n i1 1 2 3 2 43 2 0.8，b n i1xiy

17、inx y n i1x2 inx2 43 2 4 5 2 7 4 304 25 4 0.8 0.25，a yb x 7 4 5 2 0.8x0.25.y 例 3 解题导引利用描点法得到散点图，按求回归方程的步骤和公式，写出回归方 程，最后对总体进行估计 利用回归方程可以进行预测， 回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸， 是我们对 有线性相关关系的两个变量进行分析和控制， 依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础 和依据，有广泛的应用 解(1)散点图： (2) 4.5， 3.5，x 3456 4 y 2.5344.5 4 xiyi32.5435464.566.5. 4 i1 x 324252

18、6286， 4 i1 2 i b 4 i1xiyi4x y 4 i1x2 i4x2 0.7， 66.54 4.5 3.5 864 4.52 3.50.74.50.35.a yb x 所求的回归方程为 0.7x0.35.y (3)现在生产 100 吨甲产品用煤 0.71000.3570.35，y 降低 9070.3519.65(吨标准煤) 变式迁移 368 解析 10， 40，回归方程过点( ， )，xyxy 40210 . 60.a a 2x60.y 令 x4， (2)(4)6068.y 课后练习区 1D根据线性回归的含义、方法、作用分析这三个命题都是正确的 2C设(x1，y1)，(x2，y2

19、)在直线上，若 x2x11，则 y2y1(21.5x2)(21.5x1) 1.5(x1x2)1.5，y 平均减少 1.5 个单位 3D因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越 接近 1，两个变量的线性相关程度越强，所以 A、B 错误C 中 n 为偶数时，分布在 l 两侧 的样本点的个数可以不相同，所以 C 错误根据线性回归方程一定经过样本中心点可知 D 正确所以选 D. 4B ， 42，x 4235 4 7 2 y 49263954 4 又 x 必过( ， )，42 9.4 ， 9.1.y b a xy 7 2 a a 线性回归方程为 9.4x9.1.y 当 x6

20、时， 9.469.165.5(万元)y 5A回归直线方程为 x .而 ，y b a a yb x 即 t s，t s .(s，t)在回归直线上a b b a 直线 l1和 l2一定有公共点(s，t) 6 解析中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关 系教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系都不具备相关关 系 7. 0.73x0.875y 解析 8.250.7312.50.875.a yb x 80.880 9 解析 30， 93.6，xy x 7 900，xiyi17 035， 5 i1 2 i 5 i1 回归直线的斜率为 0.880 9.b 5 i1xiyi5x y 5 i1x2 i5x2 17 0355 30 93.6 7 9004 500 9解 (1)散点图如图所示(4 分) (2)由表中数据得xiyi52.5， 4 i1 3.5， 3.5，x 54，xy 4 i1 2 i 0.7. 1.05.b a yb x 0.7x1.05.回归直线如图中所示(10 分)y (3)将 x10 代入回归直线方程， 得 y0.7101