人教大纲版高考数学题库考点21直线、平面之间的位置关系

1、 考点 21 直线、平面之间的位置关系考点 21 直线、平面之间的位置关系 1.（2010湖北高考文科4）用a，b，c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若ay，by，则ab； 若ay，by，则ab. 其中真命题的序号是（ ） （A）（B）（C） （D） 【命题立意】本题主要考查立体几何中的线线、线面关系，考查考生的逻辑推理和空间想象能力 【思路点拨】空间中线线平行具有传递性，线线垂直不具有传递性，线面平行不具有传递性. 【规范解答】选 C.由空间直线的平行公理知正确；ab，bc时，a与c可以平行、相交也可以异 面，故错；ay，by时

2、，a与b可以平行、相交也可以异面，故错；由直线与平面垂直的性质 定理知正确. 2. （ 2010 江 西 高 考 文 科 ）如 图 ，M是 正 方 体 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中点，给出下列命题 过M点有且只有一条直线与直线AB， 11 BC都相交； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 11 BC都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线AB， 11 BC都相交； 过M点有且只有一个平面与直线AB， 11 BC都平行. 其中真命题是：（ ） （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题主要考查空间中线与线的位置关系、线与 面的位置关系，考查空间想象力 【思路点拨】由线与线、

3、线与面关系定理直接判断. 【规范解答】选 C.如图：设,P N分别为 1 AA， 1 CC的中点， 则平面ABNM I平面 11 BC MPEF,这个交线是唯一的， 且 11 ,EFBAF EFBCEII.正确. 这条唯一成立的直线是 1 DD,正确；显然平面 11 ADC B, 平面 BDD1B1等与直线AB， 11 BC都相交，错误;这样的唯 一平面是过M且与上、下底面都平行的平面，正确.故选 C. 3.（2010全国高考卷文科6）直三棱柱 111 ABCA BC中，若90BAC， 1 ABACAA， 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于（ ） (A)30o (B)45o (C)6

4、0o (D)90o 【命题立意】本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角 的求法. 【规范解答】选 C. 如图：延长CA到D，使得ADAC，连结 1 ,AD BD,则 11 ADAC为平行四边形， 1 DAB就是异面直线 1 BA 与 1 AC所成的角， 又三角形 1 ADB为等边三角形， 1 60DAB o. 【方法技巧】求两条异面直线所成的角的方法： （1）两条异面直线所成的角，是借助平面几何中的角的概念予以定义的，是研究空间两条直线的基础. （2） “等角定理”为两条异面直线所成角的定义提供了可能性与唯一性，过空间任一点，引两条直线分别 平

5、行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，而与所取点的位置无关. （3）建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式： | ,cos ba ba ba 求解. 4.（2010全国高考卷理科7）正方体ABCD 1111 ABC D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值 为（ ） (A) 2 3 (B) 3 3 (C) 2 3 (D) 6 3 【命题立意】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，突出考查学 生的空间想象能力和运算能力. 【思路点拨】 画出正方体图形，利用辅助线并结合正方体的性质，找到线面垂直关系确定B 1 B与平面AC 1 D所成角. 【

6、规范解答】选 D.设上下底面的中心分别为 1, OO；如图：则 1 OO 1 BB， 1 O O与平面 1 ACD所成角就是 1 BB与平面AC 1 D所成角， . 1 11 1 O O16 cosO OD OD36 2 【方法技巧】求立体几何中的线面角的方法： （1）定义法：先作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影的夹角就是斜线与平面所成的夹角，然后在直 角三角形中，求出这个角的某种函数值， 最后求出这个角. （2）公式法：利用公式 21 coscoscos （3）向量法： 21 coscoscos | sin ABn ABn 5.（2010全国高考卷文科8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为

7、边长等于2的等边三角形， SA垂直于底面ABC，3SA ,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ） (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【命题立意】本题考查线面角的概念及其求法. 【思路点拨】先找到与面SBC垂直的平面，再作出该平面的垂线，找 到直线AB在平面SBC上的射影，然后作出所求的线面角求解. 【规范解答】 选 D，如图： 取BC的中点D，连结SD ，AD， 过A作AESD，连结BE,则ABE即所求， 3SA ,2ABBCAC, 所以3,1.5ADAE, 3 sin 4 ABE. 【方法技巧】正确作出线面角是解决此类问题的关键,作线面角的方法是先找到平

8、面的垂线，可以利用面 面垂直的性质，过一个平面内一点向另一平面作交线的垂线，这样就找到该斜线在平面内的射影，从而找 到线面角.在求角的函数值时注意计算要准确. 6.（2010江西高考理科）过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A作直线l，使l与棱 1 ,AB AD AA所成的角都相等，这样的直线l可以作( ). (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 【命题立意】本题主要考查空间中线面关系，空间角的概念，考查考生的空间想象能力 【思路点拨】建立空间想象能力是关键. 【规范解答】 选第一类：过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线 1 AC；第二类：在图形外部和 每条棱的外

9、角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条. 故选 D. 7.（2010重庆高考文科9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）. (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 【命题立意】本小题考查异面直线、空间距离等基础知识，考查空间想象能力，考查推理论证能力，考查 数形结合的思想方法. 【思路点拨】把两条异面直线放在一个几何模型内，寻找符合题意的点. 【规范解答】选 D.如图：在正方体 1111 ABCDABC D 中， 直线AB与直线 11 BC是两条互相垂直的异面直线， 则符合题意的点有正方体的中心O， 点 1 A， 点C ， 1 BB的中点

10、M等 4 个点 ； 进一步思考， 在平面 11 ABB A中，到点 1 B的距离就是到直线 11 BC的距离，所 以问题可以转化为在平面 11 ABB A中，到定点 1 B的距离等于到定直线AB的 距离的点P的轨迹是抛物线，所以符合题意的点有无数个. 【方法技巧】构造几何模型正方体，可以简捷解答. 8.（2010重庆高考理科0）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行 于另一条直线的平面内的轨迹是( ). (A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 【命题立意】本小题考查立体几何中的线线、线面的垂直关系，考查空间想象能力，考查圆锥曲线的定义 和标准方程，考查转化与化

11、归的思想. 【思路点拨】把空间问题转化到一个平面上，抓住互相垂直的两条异面 直线的距离是定值，利用空间几何体模型，建立平面直角坐标系进行 推导. 【规范解答】选 D.异面直线 1 l， 2 l是已知互相垂直的异面直线，以正方体为模型，如图所示，设 1 l， 2 l 的距离是a，PAPBh，在直角坐标系xOy中，设( , )P x y，那么 22 ,xPA yPBa，所以 22 yxa，所以 222 xya，点 P 的轨迹为双曲线. 【方法技巧】借助于正方体这个模型是解题的关键，注意到两条异面直线之间的距离为定值，寻找等量关 系PAPB和 222 PBPCBC即可求出轨迹方程. 9.（2010全

12、国高考卷理科11） 到正方体 1111 ABCDABC D的三条棱 AB,CC1， A1D1所在直线的距离 相等的点( ). （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【命题立意】本题考查了空间直线、平面间的距离. 【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解. 【规范解答】 选 D，设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点建立空间直 角坐标系，设点( , , )M x y z，由点M分别作 111 ,AB CC AD的垂线，垂 足分别为 123 ,M MM，则 123 (1, ,0),(0,1, ),( ,0,1)MyMz Mx，根据两点 间距离

13、公式，得方程组 222222 (1)(1)(1)xzxyyz，显然 xyz时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组解，故这样的点有无穷多个. 【方法技巧】利用方程思想求解.方程组 222222 (1)(1)(1)xzxyyz中的每个方程都是双曲 抛物面的方程，本题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线.在一些错误解答中认为其轨迹为 柱面或者是平面是本质性的错误.这个题作为选择题，命题者的目的是考查考生空间想象能力和直觉猜想 能力. 10.（2010全国高考卷理科9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA ，那么当该棱锥的体积最 大时，它的高为（ ）. （A）1 （B）3 （C）2 （D）3

14、 【命题立意】本题考查了立体几何棱锥的体积计算与导数的运用. 【思路点拨】列出关于棱锥高的函数表达式，利用导数求最大值. 【规范解答】 选 C，如图：设棱锥的高为h,底面边长为a, 则 222 2 ()(2 3) 2 ah, 22 2(12)ah， 2 1 2(12) 3 Vh h， 2 28Vh ，令0V ， 得2h 时棱锥的体积最大. 11.（2010江西高考理科）如图，在三棱锥OABC中，三条 棱,OA OB OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱,OA OB OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 123 ,S SS，则 123 ,S SS的大 小 关系为_ 【命题立意

15、】本题主要考查棱锥的基本知识，考查空间点线面的位置关系，考查面积和体积的问题，考查 两数大小的比较，考查空间想象力 【思路点拨】先确定截面的位置，如图： ,OAOB OAOC,OABOC 平面. 即OA为底面BOC的高，则 1 3 A OBCBOC VSOA , 过棱OA的截面若要平分三棱锥的体积，只要平分底面即可， 故取BC的中点D,则截面AOD平分三棱锥的体积.过棱,OB OC的截面同理. 再确定截面面积，最后比较大小. 【规范解答】依次取ABCABC,的中点FED,，则截面三角形COFRtBOERtAODRt,所在平面 均平分三棱锥的体积，设cOCbOBaOA,，则 21 SS 22 1

16、 22 1 2222 ca b cb a = 4 22222222 cbbacaba ，又因为OAOBOC ，即 cba ，所以 0 21 SS，即 21 SS .同理可得 32 SS . 【答案】 321 SSS. 【方法技巧】为了便于计算，可取特殊值，如3,2,1OAOBOC. 12. (2010四川高考理科15）如图，二面角l 的大小是 60， 线段AB.Bl， AB与l所成的角为 30.则AB与平面所成的角的正弦值是 . 【命题立意】本题考查了空间几何体的二面角，线面角的求法问题. 【思路点拨】 首先作出AB与平面所成的角，二面角l 的平面角，然后利用具有已知条件的直角 三角形求边.

17、【规范解答】如图：过A点作AO,垂足为O，连结AO，则ABO就是AB与平面所成的角. 再过O作OCl,垂足为C，连结BC，则ACO就是二面角 l 的平面角.即60ACO ，设 ABa，在Rt ACB中， 30ABC ,sin30 2 a ACAB ， 在Rt AOC， 3 sin60 4 AOACa . 在Rt AOB中， 3 sin 4 AO BAO AB sinABO 【答案】 3 4 【方法技巧】本题主要利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来再求解. 13. （2010 全国卷理科19 ）如图，四棱锥SABCD中， SDABCD 底面， AB/DC，ADDC，1ABAD, 2DCSD，

18、 E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC. （1）证明：2SEEB； （2）求二面角ADEC的大小 . 【命题立意】 “似曾相识燕归来”. 本小题主要考查空间直线与直线、 直 线与平面、 平面与平面的位置关系， 二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力立体 几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况，命题人在这里一定会 照顾双方的利益.学生在备考中也应注意这一点，两种方法都应重视，不可偏颇. 【思路点拨】本题很常规，给人感觉很熟悉，尤其给出，底面ABCD为直角梯形，SDABCD 底面， 这就为解答提供很大的方便，大部分考生会考虑到用建立空间直角

19、坐标系，运用向量解答.再者，此题与 2007 年全国高考数学卷第 19 题，2009 全国高考数学卷第 18 题非常类似，给人似曾相识的感觉，如 果考前接触过这道试题，解决今年的这道考题不会有太大的困难. 【规范解答】方法一：(1)连结BD,取DC的中点G,连结BG,由此知1DGGCBG,即DBC 为直角三角形,故BCBD,又SDABCD 平面,故BCSD,所以, BCBDS 平面, BCDE. 作BKEC,K为垂足,因平面EDC平面SBC,故BKEDC 平面,BKDE.DE与平面SBC 内的两条相交直线BK，BC都垂直. DESBC 平面,DEEC,DESB, 22 6SBSDDB, 2 3

20、 SD DB DE SB , 22 6 3 EBDBDE, 2 6 3 SESBEB. 所以, 2SEEB. (2)由 22 5SASDAD,1AB , 2SEEB,ABSA,知 22 12 ()()1 33 AESAAB,又1AD , 故ADE是等腰三角形. 取ED中点F,连结AF,则AFDE, 22 6 3 AFADDF. 连结FG,则FGEC,FGDE. 所以,AFG是二面角ADEC的平面角. 连结AG,2AG , 22 6 3 FGDGDF, 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG . 所以,二面角ADEC的大小为120o. 方法二:以D 为坐标原点,射线DA为x轴

21、的正半轴,建立如图所示的直角坐标系Dxyz. 则(1,0,0)A, (1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,2)S. (1)(0,2, 2)SC uu r ,( 1,1,0)BC uu u r .设平面SBC的法向量为( , , )na b c r ,由,nSB nBC ruu r ruu u r , 得0,0n SCn BC r uu rr uu u r ,.故022 cb,0 ba.令1 a, 则1,1bc，(1,1,1,)n r .又设)0( EBSE, 则) 1 2 , 1 , 1 ( E. 2 (,) 111 DE uuu r ,)0 , 2 , 0( DC. 设平面CDE的法

22、向量( , , )mx y z u r , 由,mDE mDC u ruuu r u ruuu r , 得0,0m DEm DC u r uuu ru r uuu r . 故0 1 2 11 zyx ,02 y.令2 x,则(2,0,)m u r .由平面EDC平面SBC，mn u rr , 0m n u r r ,02 ,2 .故EBSE2 . (2)由(I)知) 3 2 , 3 2 , 3 2 (E,取DE中点F,则) 3 1 , 3 1 , 3 1 (F, 211 ( ,) 333 FA uu r , 故0 DEFA,由此得DEFA .又 2 42 (,) 3 33 EC uu u r

23、,故0 DEEC,由此得 DEEC ,向量FA与EC的夹角等于二面角CDEA 的平面角. 于是 2 1 | ,cos ECFA ECFA ECFA,所以,二面角CDEA 的大小为 120. 【方法技巧】求二面角的方法 求二面角的方法说明 定义法在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的 垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角 垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面 三垂线定理自二面角的一个平面上一点向另一个面引垂线，再 由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足） ，斜足 与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为 二面角的平面角. 14. （ 2010 湖 北 高 考 文 科 18 ）

24、 如 图 ， 在 四 面 体ABOC中 ， ,OCOA OCOB，120AOB o ， 且1OAOBOC. （1）设P为AC的中点，Q在AB上且3ABAQ，证明：PQOA； （2）求二面角OACB的平面角的余弦值. 【命题立意】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系以及二面角等，同时考查考生的空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力 【思路点拨】 （1）由三垂线定理，可先在AB上找一点N，使CNOA,再证明CN PQ即可. （2）可利用三垂线法作出二面角OACB的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空间向量求解). 【规范解答】方法一：（1）在平面OAB内过O点作ONOA交AB于N

25、,连接NC.在等腰AOB中， 0 120AOB120, 0 30OABOBA 30, 在Rt AON中， 0 30OAN30, 1 2 ONAN,在ONB中 000 1209030NOBNBO 120- 90=30 000 1209030NOBNBO ， 1 2 NBONAN.又3ABAQ, Q为AN的中点.在CAN中，,P Q分别为,AC AN的 中点，CN PQ.由ONOA，OCOA知 ：OAONC 平面， 又NCONC 平面，OANC， 由CN PQ知：PQOA. （2） 连接,PN PO.由,OCOA OCOB知：OCOAB 平面.又ON平面OAB,OCON.由 ONOA知：ONAOC

26、 平面.OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰直角AOC中，P为AC 的中点，ACOP.由三垂线定理知：ACNP.因此OPN为二面角OACB的平面角.在等 腰直角AOC中，1OCOA, 2 2 OP.在Rt AON中， 0 3 tan30 3 ONOA.在Rt PON 中， 22 30 6 PNOPON. 2 15 2 cos 530 6 PO OPN PN . 方法二: (1)取O为坐标原点，分别以,OA OC所在直线为x轴， z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示） 则 13 (1,0,0),(0,0,1), (,0) 22 ACB , P为AC的中点， 11 ( ,0, ) 22 P

27、. 33 (,0) 22 AB ,又由已知可得 113 (,0) 326 AQAB , 又OQ 13 ( ,0) 26 OAAQ , 31 (0,) 62 PQOQOP , 31 (0,) (1,0,0)0 62 PQ OA .故PQOA .即PQOA. (2)记平面ABC的法向量为 123 ,)nn n n （，则由,nCA nAB 且(1,0, 1)CA uu r ,得 13 12 0 33 0 22 nn nn ，故可取1, 3,1)n （，又平面OAC的法向量为(0,1,0)e ， (1, 3,1) (0,1,0)15 cos, 55 1 n e ，二面角OACB的平面角是锐角，记为，

28、则 15 cos 5 . 【方法技巧】1.空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现，也可由已有 的线线垂直，借用线线平行实现新的线线垂直. 2.求二面角的大小一般有以下五种办法： 三垂线法（过其中一个半平面内某点易作出另一个半平面的垂线时最适合用此法）. 垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）. 定义法. 射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用此 法）. 向量法. 15.（2010上海高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架， 总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等

29、份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上 底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，求图中两根 直线 13 AB与 35 A B所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值，立体几何中 求角等问题 【思路点拨】 （1）建立S关于r的函数，根据函数的性质求最值； （2）按求异面直线所成的角的步骤进行 【规范解答】 （1）设圆柱形灯笼的高为h，则4(

30、42 )9.6rh， 所以1.22hr 所以 22 22(.22 )SSSrrhrrr 侧底 （1.2-2r） 2 2.43rr(00.6)r 所以，当4 4 . . 0 0 ) )3 3( (2 2 4 4 . . 2 2 r r时 S 有最大值 最大值为5 51 1. . 1 1) )4 4 . . 0 0( (3 34 4 . . 0 04 4 . . 2 2 2 2 （平方米） （2）由（1）知0.3r 时，0.6h ， 如图，连接 135713 ,A A B B B B， 易得 135713 A AB BB B，且相互平行，所以四边形 1357 A A B B为平行四边形， 所以 3

31、5 A B 17 AB，且 3517 A BAB，所以 317 B AB为异面直线 13 AB与 35 A B所成的角， 3 33 31 1 B BA AA AR Rt t 中可 得2 23 3 . . 0 0 3 31 1 A AA A，6 6 . . 0 0 3 33 3 B BA A，所以6 63 3 . . 0 0 3 31 1 B BA A；同理可得6 63 3 . . 0 0 7 71 1 B BA A；在 7 71 13 3 B BA AB B 中， 6 63 3. .0 0 3 31 1 B BA A，6 63 3. .0 0 7 71 1 B BA A，6 6 . . 0 0

32、 7 73 3 B BB B，由余弦定理, 可得 3 3 2 2 ) )6 63 3 . . 0 0( (2 2 6 6 . . 0 0) )6 63 3 . . 0 0( () )6 63 3 . . 0 0( ( 2 2 c co os s 2 2 2 22 22 2 7 71 13 31 1 2 2 7 73 3 2 2 7 71 1 2 2 3 31 1 7 71 13 3 B BA AB BA A B BB BB BA AB BA A B BA AB B， 所以 7 71 13 3 B BA AB B 3 3 2 2 a ar rc cc co os s 异面直线 13 AB与 35

33、 A B所成的角为 3 3 2 2 a ar rc cc co os s 【方法技巧】求异面直线所成的角按如下步骤进行: （1）作角：通过作辅助线，作出或找到异面直线所成的角； （2）证明：由异面直线所成的角的定义证明前面所作的角是满足条件的角； （3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（这里仅一句话即可） ； （4）求角：在三角形中求出这个角的大小 16.（2010湖北高考理科18）如图, 在四面体ABOC中，OCOA, OCOB, 0 120AOB120， 且OAOB1OC . (1) 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQOA, 并计算 AB AQ 的值； (2) 求二面

34、角OACB的平面角的余弦值. 【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的求法等，同时考查考生的空间 想象能力、推理论证能力、运算求解能力 【思路点拨】 (1)由OCOAB 面,利用三垂线定理在AB上找一点N，使CNOA，过P作PQ NC， 交AB上一点即为所求的点Q.在AOB中即可计算 AB AQ 的值. (2)由()利用三垂线法作出二面角OACB的平面角，再解直角三角形求出二面角OACB的平 面角的余弦值.(也可利用空间向量求解) 【规范解答】方法一:(1)在平面OAB内过O点作ONOA交AB于N,连接 NC.OCOA,OAONC 平面.NCONC平面, OANC.取

35、Q为AN的中点，则,PQ NCPQOA. 在等腰AOB中， 0 120AOB, 0 30OABOBA , 在Rt AON中， 0 30OAN, 1 2 ONANAQ,在ONB中， 000 1209030NOBNBO ,NBONAQ3 AB AQ . (2)连接,PN PO.由,OCOA OCOB知：OCOAB 平面.又ON平面OAB,OCON.由 ONOA知：ONAOC 平面.OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰直角AOC中，P为AC 的中点，ACOP.由三垂线定理知：ACNP.因此OPN为二面角OACB的平面角.在等 腰直角AOC中，1OCOA, 2 2 OP.在Rt AON中， 0 3

36、tan30 3 ONOA.在Rt PON 中， 22 30 6 PNOPON. cos PO COSOPN PN 2 2 30 6 15 5 . 方法二: (1)取O为坐标原点，分别以,OA OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如 图所示） 则 13 (1,0,0),(0,0,1), (,0) 22 ACB , P为AC的中点， 11 ( ,0, ) 22 P. 设AQAB ,且（0，1） ， 33 (,0) 22 AB ,OQOAAQ =(1,0,0)+ 33 (,0) 22 = 3 (1 2 , 3 ,0) 2 , PQOQOP 1331 (,) 2222 ,0PQOAPQ OA ,即 13 0 22 ， 1 3 ，因此存 在点 13 ( ,0) 26 Q,使得3 AB PQOA AQ 且. (2) 记 平 面ABC的 法 向 量 为 123 ,)nn n n （， 则 由,nCA nAB 且(1,0, 1)CA uu r ,