新课标版高考数学复习题库考点22椭圆

1、 考点 22 椭圆 考点 22 椭圆 1.（2010福建高考文科1）若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上 的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） (A)2 （B）3 （C）6 （D）8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设出点 P 坐标，依题意写出OP FP 的表达式，进而转化为求解条件 最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选 C.设 00 P x ,y，则 222 2 000 0 xy3x 1y3 434 即， 222 2 000 0 xy3x 1y3 434

2、即，又因为F1,0， 2 000 OP FPxx1y 2 00 1 xx3 4 2 0 1 x22 4 ，又 0 x2,2 ， OP FP2,6 ，所以 max 6OP FP . 2.（2010广东高考文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离 心率是（ ） （A） 4 5 （B） 3 5 （C） 2 5 （D） 1 5 【命题立意】本题考查椭圆的基本性质以及等差数列的定义. 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a，b，c的关系，再转化为 a，c间的关系，从而求出e. 【规范解答】选B. 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 2ba

3、c， 22 4()bac，即： 222 42baacc，又 222 abc， 22 4()ac 22 2aacc，即 22 3250aacc，()(35 )0acac， 0ac（舍去）或 350ac， 3 5 c e a ，故选B. 3 （2010陕西高考理科20）如图，椭圆 C： 22 121212 22 1, xy A A B BF F ab 的顶点为焦点为 1 1221 122 11 7,2 A B A BB F B F ABSS . ()求椭圆C的方程. ()设n是过原点的直线，l 是与n垂直相交于P点、与椭圆 相交于A,B两点的直线，1,OP 是否存在上述直线 l 使 1AP PB

4、成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学 生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分 析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】已知, a b的方程组, a b椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论 【规范解答】 （）由 11 7AB 知a2+b2=7, 由 1 1221 122 22 , A B A BB F B F SSac 知 又 222 bac， 由 解得 22 4,3.ab 故椭圆C的方程为 22 1. 43 xy （）设A,B

5、两点的坐标分别为（x1,y1） ，(x1,y1 )， 假设存在直线 l 使1AP PB 成立， （）当 l 与x轴不垂直时，设 l 的方程为y=kx+m, 由 l 与n垂直相交于P点且1,OP 得 22 2 1,1. 1 m mk k 因为1,OP 1AP PB ， 2 1212 222 () () 1 00 10, 0. (34)84(3)0, OA OBOPPAOPPB OPOP PBPA OPPA PB x xy y ykxm kxkmxm 将代入椭圆方程，得 由根与系数的关系得： 12 2 8 , 34 km xx k 2 12 2 4(3) , 34 m x x k 将代入上式并化简

6、得 222222 22 2 4(1)(3)8(34)0, 1 5(1)0 kmk mmk mk kl 将代入上式并化简得： ，矛盾，故此时的直线 不存在. （）当l与x轴垂直时，满足1OP 的直线 l 的方程为1,1xx 或， 4.（2010海南高考理科T20）设 12 ,F F分别是椭圆 E: 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点，过 1 F斜率 为 1 的直线l与 E 相交于,A B两点，且 2 AF,AB, 2 BF成等差数列. （)求 E 的离心率. （）设点 P（0,-1）满足PAPB,求 E 的方程. 【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆

7、的关系等.解决本题时，一定 要灵活运用根与系数的关系以及弦长公式等知识. 【思路点拨】 利用等差数列的定义，得出 2 AF,AB, 2 BF满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行 计算. 【规范解答】 （)由椭圆的定义知， 22 4AFBFABa，又 22 2 ABAFBF， 得 4 3 ABa ， l的方程为yxc，其中 22 cab . 设 1122 ,A x yB xy，则,A B两点坐标满足方程组 化简得， 2222222 ()2()0abxa cxa cb， 则 2 12 22 2a c xx ab ， 222 12 22 ()a cb x x ab . 因为直线 AB 斜率为 1

8、，所以 2 211212 22 ()4ABxxxxx x ， 得 2 22 44 3 aab ab ，故 22 2ab ,所以 E 的离心率 22 2 2 cab e aa . （）设,A B两点的中点为 00 ,N xy，由（)知 2 12 0 22 2 23 xxa c xc ab ， 00 3 c yxc. 由PAPB，可知1 PN k ,即 0 0 1 1 y x ，得3c ，从而3 2,3ab. 椭圆 E 的方程为 22 1 189 xy . 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行 相关的计算. 5. （2010陕西高考文科20）

9、如图，椭圆 C： 22 121212 22 1, xy A A B BF F ab 的顶点为焦点为 1 1221 122 11 7,2 A B A BB F B F ABSS . ()求椭圆C的方程. ()设n是过原点的直线，l 是与n垂直相交于P点、 与椭圆相交于A,B两点的直线，1,OP 是否存在上述直线 l 使0OA OB 成立？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学 生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分 析问题、解决问题的能

10、力. 【思路点拨】已知, a b的方程组, a b椭圆C的方程假设存在直线 l 使命题成立结论 【规范解答】 （）同理科. （）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1） ，(x2,y2)， 假设存在直线l 使0OA OB 成立， （）当 l 与x轴不垂直时，设 l 的方程为y=kx+m, 由 l 与n垂直相交于P点且1,OP 得 22 2 1,1. 1 m mk k 由0OA OB 得 1212 0.x xy y 222 (34)84(3)0, ykxm kxkmxm 将代入椭圆方程，得 由根与系数的关系得： 12 2 8 , 34 km xx k 2 12 2 4(3) , 34 m x x

11、k 将代入上式并化简得 222222 22 2 4(1)(3)8(34)0, 1 5(1)0 kmk mmk mk kl 将代入上式并化简得： ，矛盾，故此时的直线 不存在. （）当 l 与x轴垂直时，满足1OP 的直线 l 的方程为1,1xx 或， 6.（2010江苏高考8）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知 椭圆1 59 22 yx 的左、右顶点为 A，B，右焦点为 F.设过点 T（mt,） 的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M),( 11 yx，),( 22 yxN，其中 m0, 0, 0 21 yy. （1）设动点 P 满足4 22 PBPF,求点 P 的轨迹. （2）设 3

12、1 , 2 21 xx，求点 T 的坐标. （3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）. 【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查直线与椭圆的方程及其相关的基础知识.考查运算求解能 力和探究问题的能力. 【思路点拨】 （1）设出 P 点的坐标，然后代入4 22 PBPF，化简即可.(2) 点 T 为直线 MT 和 NT 的交 点.（3）联立直线 MAT、直线 NBT 和椭圆方程，求出 M 和 N 的坐标，从而求出直线 MN 的方程,进而求证结 论. 【规范解答】 （1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） ，B（3，0） ，A（-3，0）. 由4 22 P

13、BPF，得 2222 (2)(3)4,xyxy 化简得 9 2 x ， 故所求点 P 的轨迹为直线. （2）将 3 1 , 2 21 xx分别代入椭圆方程，以及0, 0 21 yy得：M（2， 5 3 ） ，N（ 1 3 ， 20 9 ） ， 直线 MTA 方程为： 03 5 23 0 3 yx ，即 1 1 3 yx， 直线 NTB 方程为： 03 201 03 93 yx ，即 55 62 yx. 联立方程组，解得： 所以点 T 的坐标为 10 (7,) 3 . （3）点 T 的坐标为(9,)m 直线 MTA 方程为： 03 093 yx m ，即(3) 12 m yx， 直线 NTB 方

14、程为： 03 093 yx m ，即(3) 6 m yx. 两直线分别与椭圆1 59 22 yx 联立方程组，同时考虑到 12 3,3xx ， 解得： 2 22 3(80)40 (,) 8080 mm M mm ， 2 22 3(20)20 (,) 2020 mm N mm . 方法一：当 12 xx时，直线 MN 方程为： 2 22 22 22 22 203(20) 2020 4020 3(80)3(20) 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令0y ，解得：1x .此时直线必过点 D（1，0） ； 当 12 xx时，直线 MN 方程为：1x ，与 x 轴交点为 D

15、（1，0）. 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）. 方法二：若 12 xx，则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及0m ，得2 10m ， 此时直线 MN 的方程为1x ，过点 D（1，0）. 若 12 xx，则2 10m ，直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m ， 直线 ND 的斜率 2 22 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m ，得 MDND kk，所以直线 MN 过 D 点. 因此，直线 MN 必过x轴上的点（1，0）. 【方法技巧】由于定点

16、、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量， 通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是用合适的参数表 示变化的量. 当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足 的条件确定所要求的定点坐标. 7.（2010安徽高考理科19）已知椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点 12 ,F F在x轴上， 离心率 1 2 e . (1)求椭圆E的方程. (2)求 12 F AF的角平分线所在直线l的方程. (3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由.

17、【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查 考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力 【思路点拨】 （1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解. （2）根据角平分线的性质求出直线l的斜率或直线l上的一个点的坐标，进而求得直线l的方程. （3）先假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，根据推理结果做 O F2F1 A x y 出判断. 【规范解答】 （1）设椭圆E的方程为 22 22 1 xy ab （0ab） ， 由题意 1 2 c e a ， 22 49 1

18、ab ，又 222 cab，解得：2,4,2 3cab， 椭圆E的方程为 22 1 1612 xy . （2）方法一：由（1）得 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，又2,3A，易得 12 F AF为直角三角形，其中 2121 3,4,5,AFFFAF. 设 12 F AF的角平分线所在直线l与 x 轴交于点M，根据角平分线定理可知： 12 12 AFAF FMF M ，可得 2 3 2 F M ， 1 ( ,0) 2 M， 直线l的方程为： 1 0 2 1 30 2 2 x y ，即21yx. 方法二：由（1）得 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，又2,3A， 1 ( 4, 3

19、)AF ， 2 (0, 3)AF ， 12 12 114 ( 4, 3)(0, 3)(1,2) 535| AFAF AFAF ， 2 l k ，直线l的方程为：32(2)yx，即21yx. （3）假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P，Q， 令 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，且PQ的中点为 00 (,)R xy . PQl， 21 21 1 2 PQ yy k xx ， 又两式相减得: 2222 2121 0 1612 xxyy ， 2121 2121 161612 () 121223 xxyy yyxx ,即 0 0 2 3 x y ， 又 00 (,)R xy在直线

20、l上， 00 21yx 由解得： 00 2,3xy， 所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点. 【方法技巧】 1.求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求 解. 2.利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 3.对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行推理运算，若能推得符合题意的 结论，则存在性成立，否则，存在性不成立. 8.（2010山东高考文科22）如图，已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 过点 2 (1,) 2 ，离心率为 2 2 ，

21、左、右焦点分别为 1 F， 2 F.点P为直线:2l xy上且不在x轴上的任意一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆 的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设直线 1 PF， 2 PF的斜率分别为 1 k， 2 k. 证明： 12 13 2 kk ； 问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD 的斜率 OA k， OB k， OC k， OD k满足0 OAOBOCOD kkkk？ 若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 【命题立意】本题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想，分 类讨论思想

22、以及探求解决新问题的能力. 【思路点拨】 (1)根据离心率和已知点构造含有cba,的方程组，可求出椭圆的方程.（2） 方法一：将点 P 的坐标用 21,k k表示出来，再将点 P 的坐标代入直线:2l xy进行化简；方法二：设出点 P 的坐标， 再将 21,k k用点 P 的坐标表示，并利用点 P 在直线上进行化简；利用根与系数的关系将 OAOB kk用 1 k表 示出来，将 OCOD kk用 2 k表示出来，再由0 OAOBOCOD kkkk可得关于 21,k k的方程，再联立结论 （1）可求出 21,k k，最终可求出点 P 的坐标. 【规范解答】 （1）因为椭圆过点（ 2 2 , 1 ）

23、 ，e 2 2 ，所以 2 2 , 1 2 11 22 a c ba . 又 222 cba，所以1, 1,2cba ， 故 所求椭圆方程为 1 2 2 2 y x . (2) 方法一：由于 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 1 PF， 2 PF的斜率分别为 1 k， 2 k，且点 P 不在x轴上，所以 1 0,k 2 0,k 12 kk. 又直线 1 PF， 2 PF的方程分别为 1( 1)yk x， 2( 1)ykx，联立方程组得 12 21 12 21 , 2 . kk x kk k k y kk 由于P在直线2xy上，所以 1212 21 2 2 kkk k kk ，因此 1

24、212 230,k kkk即 12 13 2, kk 结论成立. 方法二：设 00 (,)P xy，则 0 1 0 1 y k x ， 0 2 0 1 y k x ，因为点 P 不在x轴上，所以 0 0y ， 又 00 2xy，所以 0000 120000 13(1)42213 2. xxxy kkyyyy 结论成立. :设(,),. ABBBCCDD A xyB xyC xyD xy 联立直线 1 PF与椭圆的方程得 2 2 1 1, 2 1 , x y ykx 化简得 2222 111 214220kxk xk, 因此 由于 OA,OB 的斜率存在,所以0,0, AB xx因此 k12 2

25、 1 0,1.K 相似地可以得到 2 2 0,0,0,1, CD xxk 2 2 2 2 1 OCOD k kk k , 22 121211221212 222222 121212 2(1)() 2()2 11(1)(1)(1)(1) OAOBOCOD kkk kkk kkk kkk kkkk kkkkkk 故， 若0 OAOBOCOD kkkk，则有 1212 01kkkk或. 当 12 0kk时，结合的结论可得 2 2k ，所以解得点 P 的坐标为（0,2） ； 当 12 1kk时，结合的结论可得 22 31kk或（此时 1 1k ，不满足 12 kk，舍去） ，此时直线 CD 的方程为3

26、(1)yx，联立方程2xy得 53 , 44 xy，因此点 P 的坐标为 5 3 ( , ) 4 4 . 综上所述，满足条件的点 P 的坐标分别为（0,2） ， 5 3 ( , ) 4 4 . 【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题 1.基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论和参数无关. 2.基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出 矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何 式转化为代数式或三角式来证明该式是恒成立的. 9.（2010天津高考理科20

27、）已知椭圆 22 22 1(0 xy ab ab ）的离心率 3 2 e ，连接椭圆的四个顶 点得到的菱形的面积为 4. （1）求椭圆的方程. （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点,A B，已知点A的坐标为（,0a） ，点 0 (0,)Qy在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ，求 0 y的值. 【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力. 【思路点拨】 （1）建立关于 a,b 的方程组求出 a,b.（2）构造新的一元二次方程求解. 【规范解答】 （1）由 3 e 2 c a

28、，得 22 34ac，再由 222 cab，得2ab， 由题意可知， 1 224,2 2 abab即. 解方程组 2 2 ab ab ，得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. (2)由（1）可知 A（-2,0）.设 B 点的坐标为（x1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2) 1 4 yk x x y ， ， 由方程组消去y整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk, 由 2 1 2 164 2, 14 k x k 得 2 11 22 284 , 1414 kk xy k

29、k 从而 . 设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为 2 22 82 (,) 1414 kk kk . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）.线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 （2）当k0时，线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0，解得 由 2 1010 2222 2(28)646 2() 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk ）= 42 22 4(16151) 4 (14) kk k =. 整理得 2 0 142 14 72,= 75 kky 故所以， 2 0 142 14 72,= 75 kky 故所以. 综上 00 2

30、14 =2 2= 5 yy或. 10.（2010天津高考文科21）已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率 e= 3 2 ，连接椭圆的四个顶 点得到的菱形的面积为 4. （）求椭圆的方程. （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Qy0（0， ）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 .求y0的值. 【命题立意】 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、 平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数

31、形结合的思想， 考查综合分析与运算能力. 【思路点拨】 （1）建立关于 a,b 的方程组求出 a,b；（2）构造新方程综合运用两点间的距离公式、 平面向量等知识求解. 【规范解答】 （）由 e 3 2 c a ，得 22 34ac.再由 222 cab，得 a2b. 由题意可知 1 224 2 ab，即 ab2. 解方程组 2 , 2, ab ab 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. ()(i)由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 11 ( ,)x y，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方 程为 y=k（x+2）. 于是 A，B 两点的坐

32、标满足方程组 2 2 (2), 1. 4 yk x x y 消去 y 并整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk. 由 2 1 2 164 2 14 k x k ，得 2 1 2 28 14 k x k ，从而 1 2 4 14 k y k . 所以 2 2 22 222 2844 1 |2 141414 kkk AB kkk . 由 4 2 | 5 AB ，得 2 2 4 14 2 145 k k . 整理得 42 329230kk，即 22 (1)(3223)0kk，解得 k1. 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 . （ii）设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到

33、 M 的坐标为 2 22 82 , 1414 kk kk . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 00 2,2,.QAyQBy 由4QA QB ，得y2 2 0 . （2）当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk . 令0 x ，解得 0 2 6 14 k y k . 由 0 2,QAy ， 110 ,QBx yy ， 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk

34、k ， 整理得 2 72k ，故 14 7 k ，所以 0 2 14 5 y . 综上 y0=或 0 2 14 5 y . 2 2 11.（2010北京高考文科9）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，( 2,0)，离心率是 6 3 ，直线yt与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. （）求椭圆 C 的方程. （）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标. （）设 Q（x,y）是圆 P 上的动点，当t变化时，求 y 的最大值. 【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值.要求学生掌握椭圆标准方程中 , ,a b c的关系

35、， 离心率 c e a .直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第 （） 问中y 最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出c，再利用离心率可求出, a b.直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离. 用换元法求 y 的最大值. 【规范解答】 （）因为 6 3 c a ，且2c ，所以 22 3,1abac， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y. （）由题意知 P(0, )( 11)ptt 由得 2 3(1)xt ， 所以圆 P 的半径为 2 3(1)t. 由 2 | |3(1)tt ，解得 3 2 t .所以点 P 的坐标

36、是（0， 3 2 ）. （）由（）知，圆 P 的方程为 222 ()3(1)xytt.因为点( , )Q x y在圆 P 上，所以由图可知y 222 3(1)3(1)yttxtt .设cos ,(0, )t ，则 2 3(1)cos3sin2sin() 6 tt ， 当 3 ，即 1 2 t 时，y取最大值 2. 【方法技巧】 （1）直线与圆的位置关系：dr时相离；dr时相切；dr时相交. （2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧. 12.（2010辽宁高考文科20） 设F1，F2分别为椭圆C: 22 22 xy ab =1(ab0)的左右焦点，过F2的直线 l 与椭圆C相交于

37、A,B两点，直线 l 的倾斜角为 60,F1到直线l的距离为 23. ()求椭圆C的焦距. ()如果，求椭圆C的方程. 22 AF2F B 【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，直角三角形中的边角关系，考查了椭圆的离心率，椭圆的标 准方程，平面向量的坐标以及推理运算能力. 【思路点拨】 （1）利用直角三角形中的边角关系直接求解. （2）联立直线方程和椭圆方程，消去 x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，求出 a,进 而求出椭圆方程. 【规范解答】 x y P MN O 【方法技巧】1.第（I）问利用直角三角形中的边角关系比用点到直线的距离要简单，做题时要根据题目 特点，灵活选择

38、解题策略. 2.直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组是一种常用的方法. 13.（2010辽宁高考理科20）设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭 圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (I)求椭圆 C 的离心率. (II)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中 的弦长问题，以及推理运算能力. 【思路点拨】 （I） 联立直线方程和椭圆方程， 消去 x,解出两个交点的纵坐标， 利用这两个纵坐标间的关系，

39、 得出 a，b，c 间的关系，求出离心率. （II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和 222 abc，求出 a，b，写出椭圆方程. 【规范解答】 【方法技巧】 1.直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个 x(或 y),得到关于 y(或 x)的一元二 次方程，使问题得以解决. 2.弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 14.（2010福建高考理科17）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2 , 3） ，且点 F（2 ，0）为 其右焦点. （I）求椭圆 C 的方程. （II） 是否存在平行于 OA 的直线l，使得直线l与椭圆

40、C 有公共点，且直线 OA 与l的距离等于 4？若存 在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与 方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出 a,c,然后求解椭圆的标准方程；第二步依题意假设直线l的 方程为 3 2 yxt，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数 t 的范围，再由直线 OA 与直线l的距离 等于 4 列出方程，求解出 t 的值，注意判别式对参数 t 的限制. 【规范解答】 （I） 依题意，可设椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab ，且

41、可知左焦点为2,0 F，从而 有又 2222 ,12abcb，故椭圆的方程为 22 1 1612 xy . （II）假设存在符合题意的直线l，其方程为 3 2 yxt，由 22 1 1612 3 2 xy yxt ， 得 22 33120 xtxt， 因为直线l与椭圆 C 有公共点， 所以 2 2 34 3120 tt， 解得4 34 3 t.另一方面， 由直线 OA 与直线l的距离等于 4 可得4,2 13 9 1 4 t t，由于2 134 3,4 3 ，所以 符合题意的直线l不存在. 【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制，因 为椭圆与直线

42、有交点，注意应用0 进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围. 15.（2010湖南高考文科19）为了考查冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A，B 两点各建一个考查基地，视冰川面为平面形，以过 A，B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立平面直角坐标系（图 4）.考查范围为到 A，B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域. （I）求考查区域边界曲线的方程. （II）如图 4 所示，设线段 12 PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融化时，边界线沿与 其垂直的方向朝考查区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？ 【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性，能很好地体现 学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式. 【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界，不受表面阐述所干扰，还是利 用定义法求轨迹即可.第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来. 【规范解答】 () 设