高三数学（文数）总复习练习专题二函数概念及其基本性质

1、1(2015湖北，6，易)函数 f(x)lg的定义域为()4|x| x25x6 x3 A(2，3) B(2，4 C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6 【答案】C要使函数有意义，则 4|x| 0， x25x6 x3 0， x 3， ) 解得 2x4 且 x3， 所以定义域为(2，3)(3，4 2(2015课标，10，中)已知函数 f(x)且 f(a)3，则 f(6a) 2x12， x 1， log2（x1）， x 1，) () A B 7 4 5 4 C D 3 4 1 4 【答案】A若 a1，f(a)2a123，a；若 a1，得log2(a1)3，解得 a7， 所以 f(6a)f(1)

2、，选 A. 7 4 3(2015山东，10，中)设函数 f(x)若4，则 b() 3xb， x1， 2x， x 1.) 5 6 ff A1 B.7 8 C. D. 3 4 1 2 【答案】Df b.若 b1，即 b 时，3b4，解得 b ，不符合题意， ( 5 6) 5 2 5 2 3 2 ( 5 2b) 7 8 故舍去；若 b1，即 b 时，得 2 b4，解得 b .故选 D. 5 2 3 2 5 2 1 2 思路点拨：先计算出 f 的值，再根据 f 的取值范围进行讨论，最后解方程求得 b 的 ( 5 6 )( 5 6 ) 值 4(2015湖北，7，中)设 xR，定义符号函数 sgn x则(

3、) 1，x0， 0，x0， 1，x0.) A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x| C|x|x|sgn x D|x|xsgn x 【答案】D当 x0 时，x|sgn x|x0，排除 A； x sgn|x|x0，排除 B； |x|sgn x|x|，排除 C，故选 D. 5(2015浙江，12，易)已知函数 f(x)则 f(f(2)_，f(x)的最小值是 x2， x 1， x6 x6， x 1，) _ 【解析】f(2)4， f(f(2)f(4) . 1 2 当 x1 时，f(x)x2， 求得 f(x)min0. 当 x1 时，f(x)x 626，当且仅当 x时取“” 6 x 66 f(x)

4、min260. 6 f(x)的最小值是 26. 6 【答案】 26 1 2 6 1(2014山东，3，易)函数 f(x)的定义域为() 1 log2x1 A(0，2) B(0，2 C(2，) D2，) 【答案】C要使函数有意义， 须满足解得 x2. log2x1 0， x 0，) 2(2012福建，9，中)设 f(x)g(x)则 f(g()的值为() 1，x 0， 0，x0， 1，x 0，) 1，x为有理数， 0，x为无理数，) A1 B0 C1 D 【答案】B因为为无理数，所以 g()0，故 f(g()f(0)0. 方法点拨：分段函数求值的关键是分清自变量所在的区间所对应的函数解析式，复合函

5、数求值要由 里到外逐层求值 3(2011福建，8，中)已知函数 f(x)若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于() 2x，x0， x1，x 0.) A3 B1 C1 D3 【答案】A依题意，f(a)f(1)212. 2x0，a0，f(a)a12，故 a3，故选 A. 思路点拨：首先由 f(a)f(1)0，求 f(a)的值，再根据 f(a)的值判断出 f(a)对应的解析式，求出 a 的 值 4(2014浙江，7，中)已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则() Ac3 B3c6 C69 【答案】C由已知得 f(1)1abcf(2)84a2bc，所以 3ab7

6、. f(1)1abcf(3)279a3bc，所以 4ab13. 联立解得 a6，b11， 所以 f(x)x36x211xc. 又 0f(1)3，即 0c63， 6c9. 思路点拨：首先由 f(1)f(2)f(3)，用待定系数法求出 a，b 的值，再利用不等关系求出 c 的 取值范围 5(2013陕西，10，难)设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有() Axx B.x x 1 2 C2x2x Dx2x x 1 2 【答案】D(特殊值排除法)取 x1.5，则1.52，1.51，排除 A；取 x1.6，则 2.12，1.61，排除 B；21.63.23，21.62，排除 C.故选 D

7、. 1.6 1 2 6(2013浙江，11，易)已知函数 f(x).若 f(a)3，则实数 a_x1 【解析】由 f(a)3，得3，解得 a10. a1 【答案】10 7(2014课标，15，中)设函数 f(x)则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是 ex1，x 1， x 1 3 ，x 1，) _ 【解析】f(x)2或或x1 或 1x8x8. x 1， ex1 2) x 1， x 1 3 2 ) x 1， x ln 21) x 1， x 8) 【答案】(，8 考向 1求函数的定义域 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0

8、. (3)一次函数，二次函数的定义域均为 R. (4)yx0的定义域是x|x0 (5)yax(a0 且 a1)，ysin x，ycos x 定义域均为 R. (6)ylogax(a0 且 a1)的定义域为(0，) (7)ytan x 的定义域为. x|x k 2 ，k Z) (1)(2013山东，5)函数 f(x)的定义域为()12x 1 x3 A(3，0 B(3，1 C(，3)(3，0 D(，3)(3，1 (2)(2014广东佛山模拟，13)已知 f(x21)的定义域为0，3，则函数 yf(x)的定义域为_ 【解析】(1)由题意知解得3x0，所以函数 f(x)的定义域为(3，0 1 2x0，

9、 x30， ) (2)0 x3，0 x29， 1x218， 函数 yf(x)的定义域是1，8 【答案】(1)A(2)1，8 【点拨】解题(1)的关键是正确利用指数函数单调性求解不等式 12x0；解题(2)的关键是正确 理解函数定义域的概念及函数的三要素 函数定义域的求法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要 把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式组，这个不等式组的解集就是这个函数的定义域，函数的 定义域要写成集合或者区间的形式 (2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使 实际问题有意义 (3

10、)抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，要看清内、外层函数之间的关系 若已知函数 f(x)的定义域为a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域由 ag(x)b 求出； 若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域 (1)求定义域时对于解析式先不要化简； (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式 (1)(2015山西大同质检， 5)已知函数 f(x)的定义域为(0， 2， 则函数 f()的定义域为()x1 A1，) B(1，3 C，3) D(0，)55 (2)(2013安徽，11)函数 yln的定义域为_ (1 1 x) 1x2 (1)【

11、答案】B根据题意，得 02，即 0x14，解得1x3，故选 B.x1 (2)【解析】由题意得解得 0 0， 1x2 0， x 0， ) 【答案】(0，1 考向 2求函数的解析式 (1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 (2)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是 yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形 式 (3)求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明 定义域往往导致错误 (1)(2014陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相 切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为() Ay

12、 x3 x2x 1 2 1 2 By x3 x23x 1 2 1 2 Cy x3x 1 4 Dy x3 x22x 1 4 1 2 (2)(2013安徽，14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当 1x0 时，f(x)_. (3)(2014山东青岛模拟，13)已知 f(x)2f x(x0)，则 f(x)_. ( 1 x ) 【解析】(1)(待定系数法)设该函数解析式为 f(x)ax3bx2cxd，则 f(x)3ax22bxc， 由题意知解得 f（0）d0， f（2）8a4b2cd0， f（0）c1， f（2）12a4bc3， ) a

13、1 2， b 1 2， c1， d0， ) f(x) x3 x2x. 1 2 1 2 (2)(代入法)1x0，0 x11， f(x) f(x1) (x1)1(x1) 1 2 1 2 x(x1) 1 2 (3)(函数方程法)令 代替 f(x)2f x 中的 x 得 f 2f(x) ， 1 x ( 1 x )( 1 x ) 1 x f（x）2f( 1 x )x， 2f（x）f( 1 x ) 1 x，) 解得 f(x) x. 1 3 2 3x 【答案】(1)A(2) x(x1)(3) x 1 2 1 3 2 3x 【点拨】解题(1)的关键是设出三次函数的解析式 yax3bx2cxd(a0)，然后根据

14、题目条件， 确定参数的值；解题(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化；解题(3)的 关键是变换得到一个关于 f(x)和 f 为未知数的新的方程，通过解方程组求出 f(x)的解析式 ( 1 x ) 求函数解析式的常见方法 (1)代入法：将 g(x)代入 f(x)中的 x，即得到 f(g(x)的解析式 (2)构造法：已知 f(h(x)g(x)，求 f(x)的问题，往往把右边的 g(x)整理构造成只含 h(x)的式子，用 x 将 h(x)替换 (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据 题设条件，列出方程组，解出待定系数即

15、可 (4)换元法 ： 已知 f(h(x)g(x)，求 f(x)时，往往可设 h(x)t，从中解出 x，代入 g(x)进行换元，求出 f(t) 的解析式，再将 t 替换为 x 即可 (5)函数方程法：已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f(x)、 f ，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x) ( 1 x) (1)(2014山东泰安二模， 13)已知 f(x)是二次函数， 且 f(0)0， f(x1)f(x)x1， 则 f(x) _. (2)(2015山东潍坊月考，11)已知 f x32，则 f(x)的解析式为_ (x 1

16、x) 1 x3 (3)(2015 安 徽 黄 山 模 拟 ， 14) 已 知 3f(x) 5f 1 ， 则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 ( 1 x) 2 x _ (1)【解析】设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)0 知 c0，f(x)ax2bx. 又因为 f(x1)f(x)x1， 所以 a(x1)2b(x1)ax2bxx1， 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以2abb1， ab1. ) 解得 ab . 1 2 故 f(x) x2 x. 1 2 1 2 【答案】 x2 x 1 2 1 2 (2)【解析】把解析式按自变量 x 进行变形，则 1 x f 22.

17、 (x 1 x) (x 1 x)(x 21 1 x2) (x 1 x)(x 1 x) 2 3 令 tx ，则 t2 或 t2，得 1 x f(t)t(t23)2t33t2，所以 f(x)x33x2，x(，22，) 【答案】f(x)x33x2，x(，22，) (3)【解析】x 用 代替，则有 3f 5f(x)2x1， 1 x ( 1 x ) 由此可得 3f（x）5f( 1 x ) 2 x1， 3f(1 x )5f（x）2x1，) 消去 f 得 f(x) x (x0) ( 1 x ) 5 8 3 8x 1 8 【答案】f(x) x (x0) 5 8 3 8x 1 8 考向 3分段函数及其应用 1分

18、段函数的相关概念 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称 为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集 2解决分段函数问题的注意事项 分段函数是一个函数而不是几个函数， 处理分段函数问题时， 首先确定自变量的取值属于哪个区间， 再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的 分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集” ，不可与方程组或不等式组的 求“交集”相混淆 (1)(2013 福 建 ， 13) 已 知 函 数 f(

19、x) 则 2x3，x 0， tan x，0 x 0. ) 若 f(f(a)2，则 a_. 【解析】(1)f tan 10，则 f(a)a20， f(f(a)(a22a2)202. 综上，a. 2 【答案】(1)2(2) 2 【点拨】解题(1)的思路是根据自变量的取值代入不同的解析式；解题(2)要注意分类讨论思想的应 用 分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解 (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围) 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量 的取

20、值范围 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论 (1)(2012陕西，11)设函数 f(x)则 f(f(4)_ x，x 0， ( 1 2) x ，x 0，) (2)(2011江苏，11)已知实数 a0，函数 f(x)若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为 2xa，x0 时，1a1. 这时 f(1a)2(1a)a2a， f(1a)(1a)2a13a. 由 f(1a)f(1a)得 2a13a， 解得 a ， 3 2 不符合题意，舍去 当 a1，1a1. 这时 f(1a)(1a)2a1a， f(1a)2(1a)a23a. 由 f(1a)f(1a)得1a23a，解得 a . 3 4 综合知 a

21、的值为 . 3 4 【答案】3 4 1(2015江西南昌二模，3)函数 ylg 的定义域为()x（x1） 1 x Ax|x0 Bx|x1 Cx|x1 或 x0 Dx|0 x1 【答案】B由得 x1.故选 B. x（x1） 0， 1 x0， ) 2(2015河北秦皇岛一模，3)设函数 y的定义域为 A，Bx|xm|6且 ABR， 1 x23x10 则实数 m 的取值范围为() A1m4 B1m3 C1m4 D1m0 解得 x5，所以 Ax|x5 因为 Bx|xm|6x|6mx6m，且 ABR， 所以有解得1m4. 6m 5，) 3(2015四川成都高三月考，5)设 f(x)则 f(f(2)的值为

22、() lg x，x 0， 10 x，x 0，) A. B2 C. D2 1 100 10 【答案】D20，f(2)102， f(f(2)f(102)lg 1022. 4(2015安徽合肥三模，6)已知函数 f(x)则 f(2 015)等于() 2x，x 0， f（x1）1，x 0，) A2 015 B. C2 016 D. 4 033 2 4 031 2 【答案】B由题意知，当 x0 时，f(x1)f(x)1，f(x1)f(x)1， f(2 015)f(1)2 0141. 又 f(0)f(1)1 1 ，f(1)f(0)1 ， 1 2 3 2 5 2 f(2 015) 2 014. 5 2 4

23、033 2 5(2014辽宁沈阳质检，9)设函数 f(x)则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是() 21x，x 1， 1log2x，x1，) A1，2 B0，2 C1，) D0，) 【答案】Df(x)2或0 x1 或 x1， 故 x 的取值范围是0， x 1， 21x 2) x1， 1log2x 2) ) 6(2015山东滨州二模，8)具有性质 f f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函 ( 1 x) 数下列函数：yx ；yx ；y中满足“倒负”变换的函数是() 1 x 1 x x（0 x1）， 0（x1）， 1 x（x1） ) A B C D只有 【答案】C(逐项验证法)对于，f

24、xf(x)满足条件； ( 1 x) 1 x 对于，f xf(x)不满足条件； ( 1 x) 1 x 对于，f ( 1 x) x （0 x1）， 0 （x1）， 1 x （x1） ) 满足 f f(x)故满足“倒负”变换，故选 C. ( 1 x) 7(2015云南昆明统一检测，8)已知函数 f(x)的定义域为(，)，如果 f(x2 014) 那么 f f(7 986)() 2sin x，x 0， lg（x），x 0，) 1 2 _ 【解析】由题意知，若 x0，则 2x ，解得 x1；若 x0，则|log2x| ， 1 2 1 2 解得 x2 或 x2 . 1 2 1 2 故 x 的集合为. 1，

25、 2， 2 2 【答案】1， 2， 2 2 1(2015陕西，9，易)设 f(x)xsin x，则 f(x)() A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数 【答案】Bf(x)的定义域为 R， f(x)xsin(x) xsin xf(x)， 函数 f(x)为奇函数 f(x)1cos x0， f(x)在 R 上为增函数 f(0)0，函数 f(x)有零点 故选 B. 2(2015课标，12，中)设函数 f(x)ln(1|x|)，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围 1 1x2 是() A.(1 3，1) B.(1，) (， 1 3) C.

26、(1 3， 1 3) D. (， 1 3) ( 1 3，) 【答案】A易判断 f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)ln(1x).f(x) 1 1x2 1 1x 2x （1x2）2 0，f(x)在(0，)是增函数，不等式可化为 f(|x|)f(|2x1|)，即|x|2x1|，即 3x24x10， 解得 x1. 1 3 思路点拨：由于 f(x)是偶函数，故先研究 x0 的情况，当 x0 时，f(x)ln(1x)，利用导 1 1x2 数判断 f(x)在(0，)是增函数，转化为|x|2x1|，进而求得 x 的取值范围 1(2014北京，2，易)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是() Ayex

27、 Byx3 Cyln x Dy|x| 【答案】B选项 A，yex，在 R 上为减函数； ( 1 e) x 选项 B，yx3在 R 上为增函数； 选项 C，yln x，定义域为(0，)，且在(0，)上为增函数； 选项 D，y|x|在0，)上为增函数，在(，0)上为减函数 x，x 0， x，x 0) 2(2014湖南，4，易)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是() Af(x) Bf(x)x21 1 x2 Cf(x)x3 Df(x)2x 【答案】A选项 A，由于 yx2在(，0)上单调递减，所以 f(x)在(，0)上单调递增； 1 x2 选项 B，f(x)x21 是偶函数但在(，0

28、)上单调递减；选项 C，f(x)x3为奇函数；选项 D，f(x)2x 为非奇非偶函数，综上选 A. 3(2014陕西，7，中)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是() Af(x)x3 Bf(x)3x Cf(x) Df(x)(1 2) x 【答案】B(根据函数满足的条件和函数性质逐一判断)f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y3，不满 足 f(xy)f(x)f(y)，A 错误f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)3x是增函 数，B 正确f(x)，f(xy)(xy) ，不满足 f(xy)f(x)f(y)，C 错误f(x)

29、1 2 ( 1 2) ，f(xy)，满足 f(xy)f(x)f(y)，但 f(x)不是增函数，D x ( 1 2) xy ( 1 2 ) x ( 1 2) y ( 1 2) x 错误 方法点拨：解抽象函数的有关试题的关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理， 例如采用赋值法，以寻求解题的切入点 4(2013北京，3，中)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是() Ay Byex 1 x Cyx21 Dylg |x| 【答案】C(逐项验证法)A 中 y 是奇函数， A 不正确 ； B 中 yex是非奇非偶函数， 1 x( 1 e) x B 不正确；C 中 yx21 是偶

30、函数且在(0，)上是单调递减的，C 正确；D 中 ylg |x|在(0，) 上是增函数，D 不正确故选 C. 5(2012辽宁，8，中)函数 y x2ln x 的单调递减区间为() 1 2 A(1，1 B(0，1 C1，) D(0，) 【答案】B(根据函数的导数小于 0 的解集就是函数的单调减区间求解)由题意知， 函数的定义域 为(0，)，又由 yx 0，解得 0x1，所以函数的单调递减区间为(0，1 1 x 考向 1确定函数的单调性(单调区间) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地， 设函数 f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量 x1，x2 定义

31、 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)，那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (1)函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，所以求函数的单调区间时，必须先求函数的定义 域 (2)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数在其定义域的一个区间上是 增函数，而在另一个区间上不是增函数例如，函数 yx2，当 x0，)时是增函数，当 x(， 0时是减函数 (3)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一单调性的区间用“和”连接(或用“， ”隔开

32、)， 不能用“”连接 (1)(2015浙江金华十校调研，4)下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是() Ay x Byx2x 1 x Cyln xx Dyexx (2)(2014天津，12)函数 f(x)lg x2的单调递减区间是_ (3)(2015广东佛山联考，17，12 分)讨论函数 f(x)(a0)在(1，1)上的单调性 ax x21 【解析】(1)对于 A，y1 在(0，)内是减函数，y2x 在(0，)内是增函数，则 y x 在 1 x 1 x (0，)内是减函数；B，C，D 选项中的函数在(0，)上的单调性不确定故选 A. (2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u 在(

33、0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减， 在(0，)上递增，故 f(x)在(，0)上单调递减 (3)方法一(定义法)：设1x1x21， 则 f(x1)f(x2) ax1 x1 ax2 x1 ax 1xax1ax2xax2 （x1）（x1） . a（x2x1）（x1x21） （x1）（x1） 1x1x20，x1x210，(x 1)(x 1)0.2 12 2 又 a0，f(x1)f(x2)0， 故函数 f(x)在(1，1)上为减函数 方法二(导数法)： f(x)（ax）（x 21）ax（x21） （x21）2 . a（x21）2ax2 （x21）2 a（x21） （x21）2 a（x21） （x

34、21）2 a0，x(1，1)， f(x)0，即 x ，而 ylog5u 为(0，)上的增函数， 1 2 当 x 时，u2x1 也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是. 1 2 ( 1 2，) 【答案】(1 2，) 考向 2求函数的最值或值域 1函数的最值 (1)最大值：函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足以下两个条件：对于任意的 xI，都 有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M.那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值 (2)最小值：函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足以下两个条件：对于任意的 xI，都 有 f(x)m；存在 x0I，使得

35、 f(x0)m.那么，我们称 m 是函数 yf(x)的最小值 函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值 (1)(2015河南郑州检测，5)已知 a0，设函数 f(x)(xa，a)的最 2 012x12 010 2 012x1 大值为 M，最小值为 N，那么 MN() A2 008 B2 009 C4 018 D4 022 (2)(2013北京，13)函数 f(x)的值域为_ log 1 2x，x 1， 2x，x 1 ) (3)(2014云南昆明模拟，18，12 分)已知函数 f(x)，x1，) x22xa x 当 a 时，求函数 f(x)的最小值； 1

36、2 若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 【解析】(1)由题意得 f(x)2 012. 2 012x12 010 2 012x1 2 2 012x1 y2 012x1 在a，a上是单调递增的， f(x)2 012在a，a上是单调递增的， 2 2 012x1 Mf(a)，Nf(a)， MNf(a)f(a)4 0244 022.故选 D. 2 2 012a1 2 2 012a1 (2)当 x1 时，f(x)log x 是单调递减的， 1 2 此时，函数的值域为(，0； 当 x0 在1，)上恒成立时，a 的取值范围是(3，) 【点拨】解题(1)的关键是判断函数 f(x)的

37、单调性；解题(2)时注意求出 f(x)在每一段的值域，最后 求并集；解题(3)的关键是判断函数的单调性，的方法是将恒成立问题转化为函数的最值问题 1.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最 值 (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域 2恒成立

38、问题的解法 (1)mf(x)恒成立mf(x)max. (2)mf(x)恒成立mf(x)min. (1)(2015黑龙江重点中学质检，15)用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值，设 f(x)min2x，x2，10 x(x0)，则 f(x)的最大值为_； (2)(2014广东惠州高三月考，14)已知函数 f(x)的值域为，则函数 g(x)f(x)的值 3 8， 4 9 12f（x） 域为_ 【解析】(1)画出 y2x，yx2，y10 x 的图象，观察图象可知 f(x) 2x（0 x 2）， x2（2 x f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df(

39、)f(2)f(3)f(2)，即 f()f(3)f(2) (2)f(log a)f(log2a)f(log2a)， 1 2 原不等式可化为 f(log2a)f(1) 又f(x)在区间0，)上单调递增，0log2a1， 即 1a2. f(x)是偶函数，f(log2a)f(1) 又 f(x)在区间(，0上单调递减， 1log2a0， a1. 1 2 综上可知 a2. 1 2 【答案】(1)A(2)C 【点拨】解题(1)的关键是利用偶函数的性质将2，3 转化到同一个单调区间上；解题(2)的 关键是结合图象利用单调性将“f”脱掉 利用函数单调性求参数取值范围的方法 利用函数的单调性求参数的取值范围，首先

40、要视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，然后与已知单调区间比较求参数需要注意的是，若函数在区间a，b上是单调的， 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的此外，也可结合常见函数的单调性求解，比如一次函数、 反比例函数和二次函数 在求抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，得到关于参数的等式或不 等式关系 (2012安徽，13)若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则 a_ 【解析】f(x) 2xa，x a 2， 2xa，xa 2，) f(x)在上单调递减，在上单调递增， 3， (， a 2) a 2，) a 2 a6. 【答案】6

41、1(2015安徽阜阳二模，5)给定函数yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1.其中在区 1 2 1 2 间(0，1)上单调递减的函数序号是() A B C D 【答案】Byx 在(0，1)上递增；tx1 在(0，1)上递增，且 0 1，故 y 2x1在(0，1)上递增故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是. 2(2015福建福州一模，8)函数 f(x)(a0 且 a1)是 R 上的减函数，则 a 的取 x3a，x 0， ax，x 0) 值范围是() A(0，1) B.1 3，1) C. D. (0， 1 3(0， 2 3 【答案】B当 x0 时，函数 f(x)x3a 是减函数；当 x0

42、 时，若函数 f(x)ax是减函数，则 0a1.要使函数 f(x)在(，)上是减函数，需满足 03aa0，解得 a ，故有即 1 3 0 a 1， a 1 3， ) 1 3 a1. 易错点拨：本题易遗漏两段函数连接点值的大小比较而致误 3(2014湖南长沙模拟，5)已知函数 f(x)log2x，若 x1(1，2)，x2(2，)，则() 1 1x Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 【答案】B函数 f(x)log2x在(1，)上为增函数，且 f(2)0， 1 1x 当 x1(1，2)时，f(x1)f(2)0； 当 x2(2，)时，f(x2)f

43、(2)0， 即 f(x1)0，f(x2)0. 4(2015北京丰台一模，6)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，它在0，)上是减函数，则下 列各式一定成立的是() Af(0)f(2) Cf(1)f(3) Df(2)f(3) 【答案】Cf(x)是偶函数，f(3)f(3)，f(1)f(1) 又f(x)在(0，)上是减函数，故 f(3)f(3)，f(1)f(3)，故选 C. 5(2014辽宁五校第二次联考，12)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在区间0，)上为增函数， 且 f 0，则不等式 f(logx)0 的解集为() ( 1 3) 1 8 A. B(2，) ( 1 2，2) C.

44、(2，) D.(2，) (0， 1 2)( 1 2，1) 【答案】C由已知 f(x)在 R 上为偶函数，且 f 0， ( 1 3) f(log x)0 等价于 f(|log x|)f . 1 8 1 8( 1 3) 又 f(x)在0，)上为增函数， |log x| ，即 log x 或 log x ， 1 8 1 3 1 8 1 3 1 8 1 3 解得 0 x 或 x2，故选 C. 1 2 6(2015湖北武汉模拟，9)若不等式 x2a|x|10 对 x恒成立，则实数 a 的取值范围是 1 2， 1 2 () A2，) B2，2 C(，2 D.5 2，) 【答案】D不等式 x2a|x|10

45、对 x恒成立等价于|x|2a|x|10 对 x恒 1 2， 1 20， 1 2 成立，即 a.令 t|x|，t，g(t)t . (|x| 1 |x|) (0， 1 2 1 t g(t)在单调递减， (0， 1 2 g(t) 2 ，故的最大值为 ， 1 2 5 2(|x| 1 |x|) 5 2 所求实数 a 的取值范围是. 5 2，) 7(2014福建厦门质检，13)函数 f(x)log2(x2)在区间1，1上的最大值为 ( 1 3) x _ 【解析】由于 y在 R 上单调递减，ylog2(x2)在1，1上递增，所以 f(x)在1，1 ( 1 3 ) x 上单调递减，故 f(x)在1，1上的最大

46、值为 f(1)3. 【答案】3 8(2015四川成都高三月考，12)已知函数 f(x) 1，x 0， 0，x0， 1，x 1， 0，x1， x2，x 1.) 其函数图象如图所示，其递减区间是0，1) 【答案】0，1) 9(2014江西南昌质检，14)已知函数 f(x)(a0)在(2，)上为单调递增函数，则实数 a 的 x2a x 取值范围为_ 【解析】方法一(定义法)：在区间(2，)上任取 x1，x2，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) xa x1 xa x2 (x 1 a x1) (x 2 a x2) (x1x2)( a x1 a x2) (x1x2)a（x 2x1） x1x2 (x1x

47、2). (1 a x1x2) f(x)在(2，)上为增函数， (x1x2)0 时，f(x)x2 ，则 f(1)() 1 x A2 B0 C1 D2 【答案】A由函数 f(x)为奇函数，得 f(1)f(1)2，故选 A. 5(2011辽宁，6，中)若函数 f(x)为奇函数，则 a() x （2x1）（xa） A. B. C. D1 1 2 2 3 3 4 【答案】A(定义法)因为 f(x)为奇函数， x （2x1）（xa） 即， x （2x1）（xa） x （2x1）（xa） 整理得(2x1)(xa)(xa)(2x1) 化简得(4a2)x0，根据恒等，得 4a20，a ，故选 A. 1 2 6(

48、2013湖北，8，中)x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)xx在 R 上为() A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数 【答案】D(图象法)函数 f(x)xx在 R 上的图象如图： 故 f(x)xx在 R 上为周期函数 7(2012山东，8，中)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x 2)2，当1x3 时，f(x)x，则 f(1)f(2)f(3)f(2 012)() A335 B338 C1 678 D2 012 【答案】B由 f(x6)f(x)可知，函数 f(x)的周期为 6，所以 f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，

49、f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有 f(1)f(2)f(6)121 0101，所以 f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338. 思路点拨：本题的解题关键是根据函数的周期性，把 f(1)f(2)f(3)f(2 012)化到一个周期内 计算 8(2014山东，9，难)对于函数 f(x)，若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x) f(2ax)，则称 f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是() Af(x) Bf(x)x2x Cf(x)tan x Df(x)cos(x1) 【答案】D由题意可得准偶

50、函数的图象关于直线 xa(a0)对称，即准偶函数的图象存在不是 y 轴的对称轴选项 A，C 中函数的图象不存在对称轴，选项 B 中函数的图象的对称轴为 y 轴，只有选 项 D 中函数的图象存在不是 y 轴的对称轴 方法点拨 ： 若 f(x)f(2ax)对定义域内任意 x 恒成立，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称，反 之亦然 9(2012重庆，12，易)若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_ 【解析】方法一(特值法)：由函数 f(x)为偶函数得 f(1)f(1)， 即(1a)(14)(1a)(14)， 所以 a4. 方法二(定义法)：f(x)(xa)(x4)(xa)(x4

51、)f(x)(xa)(x4)，a4. 【答案】4 10(2011安徽，11，中)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2x，则 f(1) _. 【解析】f(1)2(1)2(1)3， f(1)f(1)3. 【答案】3 考向 1函数奇偶性的判断 1函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫 作偶函数 关于 y 轴对称 奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意关于原点对称 一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就 叫作奇函数 2奇偶函数的性质 (1)奇

52、函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相 反 (2)若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)0. (3)若函数 f(x)是偶函数，则 f(x)f(|x|) (4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个类型，即 f(x)0，其中定义域是关于原点对称的非空数 集 (1)(2013广东，2)定义域为 R 的四个函数 yx3，y2x，yx21，y2sin x 中，奇函 数的个数是() A4 B3 C2 D1 (2)(2014课标，5)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中 正确的是() Af(x)g

53、(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 【解析】(1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y2x为非奇非偶函数，yx21 为偶函数，y x3与 y2sin x 为奇函数，故选 C. (2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于 A：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x) h(x)， h(x)是奇函数，A 错； 对于 B：令 h(x)|f(x)|g(x)，则 h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数， B 错； 对于 C：令 h(x)f(x)

54、|g(x)|，则 h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，C 正确； 对于 D：令 h(x)|f(x)g(x)|，则 h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)为偶函数， D 错 【答案】(1)C(2)C 【点拨】解题(1)(2)的关键是利用奇偶函数的定义判断 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进 行化简，再利用定义进行判断 利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)图象法 (3)性质法 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它

55、们的公共定义域上，有下面结论： f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x) 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数 奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数 奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性 (2014重庆，4)下列函数为偶函数的是() Af(x)x1 Bf(x)x2x Cf(x)2x2x Df(x)2x2x 【答案】D因为 f(x)2x2x，所以 f(x)2x2xf(x)又 f(x)2x2x的定义域为 R，故 f(x)2x2x为偶函数易证 A，B 选项中

56、的函数既不是奇函数也不是偶函数，而 C 选项中的函数为奇 函数 考向 2函数奇偶性的应用 (1)(2013湖南，4)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1) 4，则 g(1)等于() A4 B3 C2 D1 (2)(2014湖南，15)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_. (3)(2013江苏，11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解 集用区间表示为_ 【解析】(1)由函数的奇偶性可得 f(1)f(1)，g(1)g(1)，则联立 f（1）g（1）2， f（1）g（1）4，

57、 ) 解得 g(1)3. (2)函数 f(x)ln(e3x1)ax 为偶函数， 故 f(x)f(x)， 即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax， 化简得 ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得 e3x1e2ax3x(e3x1)，所以 2ax3x0，解得 a 1e3x e3xe6x 1e3x e3xe6x . 3 2 (3)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0. 又当 x0 时，x0， f(x)x24x. 又 f(x)为奇函数， f(x)f(x)， f(x)x24x(x0)， f(x) x24x，x0， 0，x0， x24x，x0.) 当 x0 时，由 f(x)x 得 x2

58、4xx，解得 x5； 当 x0 时，f(x)x 无解； 当 x0 时，由 f(x)x 得x24xx，解得5x0. 综上得不等式 f(x)x 的解集用区间表示为(5，0)(5，) 【答案】(1)B(2) (3)(5，0)(5，) 3 2 【点拨】解题(1)的方法是根据函数的奇偶性列出关于 f(1)和 g(1)的方程组求 g(1)；题(2)是利用函 数的奇偶性、对数函数、对数式与指数式的运算，结合方程思想和转化思想求参数的值；解题(3)的关键 是求出 f(x)的解析式，然后分段解不等式 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x) 的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式 (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值 或方程(组)，进而得出参数的值 (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及