高三数学总复习学案43

1、学案学案 43空间的平行关系空间的平行关系 导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行 的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关 系 自主梳理 1直线 a 和平面 的位置关系有_、_、_，其中_与 _统称直线在平面外 2直线和平面平行的判定： (1)定义：直线和平面没有_，则称直线和平面平行 (2)判定定理：a，b，且 ab_； (3)其他判定方法：，a_. 3直线和平面平行的性质定理：a，a，l_. 4两个平面的位置关系有_、_. 5两个平面平行的判定： (1)定义：两个平面没有_，称这两个平面平行； (2)判定定理

2、：a，b，abP，a，b； (3)推论：abP，a，b，abP，a，b，aa，bb _. 6两个平面平行的性质定理： ，a_； ，a，b_. 7与垂直相关的平行的判定： (1)a，b_；(2)a，a_. 自我检测 1(2011湖南四县调研)平面 平面 的一个充分条件是() A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，a，b，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 2(2011烟台模拟)一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 的距离相等，那么直 线 l 与平面 的位置关系是() Al Bl Cl 与 相交但不垂直 Dl 或 l 3下列

3、各命题中： 平行于同一直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行； 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； 垂直于同一直线的两个平面平行 不正确的命题个数是() A1 B2 C3 D4 4经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作() A0 个 B1 个 C0 个或 1 个 D1 个或 2 个 5(2011南京模拟)在四面体 ABCD 中，M、N 分别是ACD、BCD 的重心，则四 面体的四个面中与 MN 平行的是_. 探究点一线面平行的判定 例 1 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P、Q 分 别是对角线 AE、B

4、D 上的点，且 APDQ.求证：PQ平面 CBE. 变式迁移 1(2011长沙调研)在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形， M、N 分别是 AB、PC 的中点，求证：MN平面 PAD. 探究点二面面平行的判定 例 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1的中点， 求证：平面 MNP平面 A1BD. 变式迁移 2已知 P 为ABC 所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、 PAC 的重心 (1)求证：平面 G1G2G3平面 ABC； (2)求 SG1G2G3SABC. 探究点三平行中的探索性问题 例 3 (2011

5、惠州月考)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，CDAB，ADAB， ADDC AB，BCPC. 1 2 (1)求证：PABC； (2)试在线段 PB 上找一点 M，使 CM平面 PAD，并说明理由 变式迁移 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点， 设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO? 转化与化归思想综合应用 例 (12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中 M、N 分别是 AB、SC 的中 点，P 是 SD 上的一动点 (1)求证：BPAC； (2)当点 P 落在什么位置时，

6、AP平面 SMC? (3)求三棱锥 BNMC 的体积 多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到 SD平面 ABCD，第(2)问是一个开放 型问题，可有两种思维方式：一是猜想 P 是 SD 的中点，二是从结论 “AP 平行于平面 SMC” 出发找 P 满足的条件 【答题模板】 (1)证明连接 BD，ABCD 为正方形， BDAC，又 SD底面 ABCD， SDAC，BDSDD，AC平面 SDB，BP平面 SDB， ACBP，即 BPAC.4 分 (2)解取 SD 的中点 P，连接 PN，AP，MN. 则 PNDC 且 PN DC.6 分 1 2 底面 ABCD 为正方形，AMDC 且 AM

7、DC， 1 2 四边形 AMNP 为平行四边形，APMN. 又 AP平面 SMC，MN平面 SMC，AP平面 SMC.8 分 (3)解VBNMCVNMBC SMBC SD BCMB SD 1 2.12 分 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 6 1 2 1 2 1 12 【突破思维障碍】 1本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图 想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到 SD 平面 ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精 神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目结合空间平行关

8、系，利用平行的性质，设计开 放型试题是新课标高考命题的一个动向 2线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法 1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定 理 2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a，a . 3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化： (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.(2011开封月考)下列命题中真命题的个数为() 直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l； 若直线 a 在平面 外，则 a； 若直线 ab，直线 b，则 a； 若直线 ab，b

9、，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线 A.1 B2 C3 D4 2.已知直线 a、b、c 和平面 m，则直线 a直线 b 的一个必要不充分的条件是() A.am 且 bm Bam 且 bm C.ac 且 bc Da，b 与 m 所成的角相等 3.在空间中，下列命题正确的是() A.若 a，ba，则 b B.若 a，b，a，b，则 C.若 ，b，则 b D.若 ，a，则 a 4.设 l1、l2是两条直线，、 是两个平面，A 为一点，有下列四个命题，其中正确命题 的个数是() 若 l1，l2A，则 l1与 l2必为异面直线； 若 l1，l2l1，则 l2； 若 l1，l2，l1，l2，则

10、； 若 ，l1，则 l1. A.0 B1 C2 D3 5.若直线 a，b 为异面直线，则分别经过直线 a，b 的平面中，相互平行的有() A.1 对 B2 对 C.无数对 D1 或 2 对 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6.(2011秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分 别为其所在棱的中点，能得出 AB面 MNP 的图形的序号是_(写出所有符合要求的 图形序号) , 7.(2011大连模拟)过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的有_条 8. 如图所示， ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正

11、方体， M， N 分别是下底面的棱 A1B1， B1C1 的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP ，过 P，M，N 的平面交上底面于 PQ，Q 在 a 3 CD 上，则 PQ_. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分) 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M、N 分别是 BC 和 A1B1的中点 求证：MN平面 AA1C1C. 10(12 分)(2010湖南改编) 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点 在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论 11(14 分) (2011济宁模拟)如图， 四边形 ABCD 为矩

12、形， DA平面 ABE， AEEBBC2， BF 平面 ACE，且点 F 在 CE 上 (1)求证：AEBE； (2)求三棱锥 DAEC 的体积； (3)设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得 MN 平面 DAE. 学案学案 43空间的平行关系空间的平行关系 自主梳理 1 平行相交在平面内平行相交2.(1)公共点(2)a(3)a3.al4.平 行相交5.(1)公共点 (3)6.aab7.(1)ab(2) 自我检测 1D2.D3.A4.C 5面 ABC 和面 ABD 课堂活动区 例 1 解题导引证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分

13、利 用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化 证明 如图所示，作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB 交 BC 于 N，连接 MN. 矩形 ABCD 和矩形 ABEF 全等且有公共边 AB，AEBD. 又APDQ，PEQB， 又PMABQN， ，. PM AB EP EA QN DC BQ BD PM AB QN DC PM 綊 QN，四边形 PQNM 为平行四边形， PQMN 又 MN平面 BCE，PQ平面 BCE， PQ平面 BCE. 变式迁移 1证明取 PD 中点 F，连接 AF、NF、NM. M、N 分别为 AB、PC 的中点， NF 綊 CD，AM 綊 CD，AM 綊 NF.

14、1 2 1 2 四边形 AMNF 为平行四边形，MNAF. 又 AF平面 PAD，MN平面 PAD， MN平面 PAD. 例 2 解题导引面面平行的常用判断方法有： (1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么 这两个平面平行； (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行 ； 关键是利用 “线线平行” 、 “线面平行” 、 “面 面平行”的相互转化 证明方法一 如图所示，连接 B1D1、B1C. P、N 分别是 D1C1、B1C1的中点， PNB1D1. 又 B1D1BD， PNBD. 又 PN面 A1BD， PN平面 A1BD. 同理 MN平面 A1BD.又

15、PNMNN， 平面 MNP平面 A1BD. 方法二 如图所示，连接 AC1、AC. ABCDA1B1C1D1为正方体， ACBD. 又 CC1面 ABCD， BD面 ABCD， CC1BD，BD面 ACC1， 又AC1面 ACC1，AC1BD. 同理可证 AC1A1B， AC1平面 A1BD. 同理可证 AC1平面 PMN， 平面 PMN平面 A1BD. 变式迁移 2 (1)证明如图所示，连接 PG1、PG2、PG3并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、 F，连接 DE、EF、FD，则有 PG1PD23， PG2PE23，G1G2DE. 又 G1G2不在平面 ABC 内，DE 在平

16、面 ABC 内， G1G2平面 ABC. 同理 G2G3平面 ABC. 又因为 G1G2G2G3G2， 平面 G1G2G3平面 ABC. (2)解由(1)知 ，G1G2 DE. PG1 PD PG2 PE 2 3 2 3 又 DE AC，G1G2 AC. 1 2 1 3 同理 G2G3 AB，G1G3 BC. 1 3 1 3 G1G2G3CAB，其相似比为 13， SG1G2G3SABC19. 例 3 解题导引近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位 置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明 (1)证明连接 AC，过点 C 作 CEAB，垂足为 E. 在四边形 ABCD

17、中，ADAB，CDAB，ADDC， 四边形 ADCE 为正方形 ACDACE45. AECD AB，BEAECE.BCE45. 1 2 ACBACEBCE454590. ACBC. 又BCPC，AC平面 PAC，PC平面 PAC，ACPCC， BC平面 PAC.PA平面 PAC，PABC. (2)解当 M 为 PB 的中点时，CM平面 PAD. 取 AP 的中点 F，连接 CM，FM，DF. 则 FM 綊 AB. 1 2 CDAB，CD AB， 1 2 FM 綊 CD. 四边形 CDFM 为平行四边形CMDF. DF平面 PAD，CM平面 PAD， CM平面 PAD. 变式迁移 3解当 Q 为

18、 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO. Q 为 CC1的中点，P 为 DD1的中点，QBPA. P、O 为 DD1、DB 的中点， D1BPO. 又 POPAP，D1BQBB，D1B平面 PAO，QB平面 PAO， 平面 D1BQ平面 PAO. 课后练习区 1A、错，对 2D注意命题之间的相互推出关系 ； 易知选项 D 中，若两直线平行，则其与 m 所成 的角相等，反之却不一定成立，故 a、b 与 m 所成的角相等是两直线平行的必要不充分条 件 3DA 不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件 b；B 不正确， 由两个平面平行的判定定理的条件，因 a、b 未必相交，而可能为两

19、条平行直线，则 、 未 必平行；C 不正确，因有可能 b；D 正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的 定义知正确 4A错，l1，l2A，l1与 l2可能相交 错，l2有可能在平面 内 错， 有可能与 相交 错，l1有可能与平面 相交或平行或在平面内 5A 如图，a，b 为异面直线，过 b 上一点作 aa，直线 a，b 确定一个平面 ，过 a 上 一点作 bb，b 与 b确定一个平面 ，则 .因为 ， 是惟一的，所以相互平行的平面仅 有一对 6 解析面 AB面 MNP，AB面 MNP， 过 N 作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O， NO面 MNP， AB 与面 MNP 不平行 易知

20、 ABMP， AB面 MNP； 过点 P 作 PCAB， PC面 MNP， AB 与面 MNP 不平行 7. 6 解析如图，EFE1F1AB， EE1FF1BB1，F1EA1D， E1FB1D， EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F 都平行于平面 ABB1A1，共 6 条 8.a 2 2 3 解析 如图所示，连接 AC， 易知 MN平面 ABCD， 又PQ 为平面 ABCD 与平面 MNQP 的交线， MNPQ. 又MNAC，PQAC， 又AP ， a 3 ，PQ ACa. DP AD DQ CD PQ AC 2 3 2 3 2 2 3 9证明设 A1C1中点为 F，连接 NF，FC

21、， N 为 A1B1中点， NFB1C1，且 NF B1C1， 1 2 又由棱柱性质知 B1C1綊 BC，(4 分) 又 M 是 BC 的中点， NF 綊 MC， 四边形 NFCM 为平行四边形 MNCF，(8 分) 又 CF平面 AA1C1C， MN平面 AA1C1C， MN平面 AA1C1C.(12 分) 10解在棱 C1D1上存在点 F，使 B1F平面 A1BE.证明如下： 如图所示，分别取 C1D1和 CD 的中点 F，G，连接 B1F，EG，BG，CD1，FG.因为 A1D1 B1C1BC，且 A1D1BC，所以四边形 A1BCD1是平行四 边形，因此 D1CA1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EGD1C，从