初等变换与初等矩阵课件

1、解方程组：,把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程,把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行,把未知量系数和常数按原顺序写成下表,消元法解方程组,增广矩阵,1,PPT学习交流,把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程,把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行,把第2个方程与第3个 方程互换位置,把第2行与第3行互换位置,2,PPT学习交流,把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程,分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行,3,PPT学习交流,线性方程组的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：,（

2、3）,（4）,称为线性方程组（1）的系数矩阵.,称为线性方程组（1）的增广矩阵.,一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.,4,PPT学习交流,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,（1） 对调两行（对调i,j两行，记作,（2） 以不为零的数 k 乘某一行的所有元素 (第 i行乘数 k , 记作,一、矩阵的初等变换和初等矩阵,1、矩阵的初等变换,定义,5,PPT学习交流,矩阵的初等变换,相应地有三种列初等变换,（1）交换矩阵的两列，记作,（2）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作,（3）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作,上述六种变换，统称为矩阵的初等变换,6,PPT学习交流,(

3、换法矩阵),1. 将E的第i行与第j 行交换得到的初等矩阵,2、初等矩阵,单位矩阵E 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵，它们是：,7,PPT学习交流,(倍法矩阵),2 以数 乘单位矩阵的第 i 行 得初等矩阵,注 倍法矩阵的特点是： ；其它元素与单位矩阵相同.,8,PPT学习交流,(消法矩阵),3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵,注消法矩阵的特点是： ； 其它元素与单位矩阵相同.,9,PPT学习交流,如 n = 4,10,PPT学习交流,用初等矩阵右乘给定矩阵，其结果就是对给定 矩阵施行相应的初等列变换。,用初等矩阵左乘给定的矩阵，其结果就是对给 定的矩阵施以相应的初等

4、行变换。,3、初等矩阵与初等 变换 之间的关系,11,PPT学习交流,的右边乘以相应的 l 阶初等矩阵.,定理 设 A 是一个 n l 矩阵, 对 A 施行一次,初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 n 阶初,等矩阵;,对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A,12,PPT学习交流,例如,13,PPT学习交流,如果矩阵A 经过有限次初等变换变成,二、矩阵的等价和矩阵的标准形,1、等价矩阵,定义,矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作,14,PPT学习交流,矩阵A 的行阶梯形,15,PPT学习交流,的矩阵称为矩阵A的标准形。,（主对角线上1的个数可以是0）,第r 行,即,2、矩阵A 的标

5、准形,形如,16,PPT学习交流,例2 设,问：矩阵A和B是否等价？,解 先求 A、B的标准形,17,PPT学习交流,对B施行一系列初等变换得,18,PPT学习交流,19,PPT学习交流,例,化为等价标准形的变换矩阵。,20,PPT学习交流,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,由初等方阵的性质得,21,PPT学习交流,教学目的理解初等矩阵的概念，理解矩阵的等价和 标准形，掌握初等变换和初等矩阵的关系，熟练掌握 矩阵等价的充要条件和初等变换法求逆矩阵.,教学重点初等变换法求逆矩阵；初等变换 和初等矩阵的关系.,教学难 点 初等变换和初等矩阵