第七章：图像重建课件

1、第七章：图像重建,7-1 概述 7-2 傅立叶变换重建 7-3 卷积法重建 7-4 代数重建方法 7-5 重建的优化问题 7-6 图像重建中的滤波器设计 7-7 重建图像的显示,7.1 概述,图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛的应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。 应用领域广泛，主要有：医疗、工业无损检测、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微、全息成像学以及理论视觉等等。 图像重建的三种常用检测模型：投射模型、发射模型、反射模型（参照对照表）。 重建算法：代数法、迭代法、傅立叶反投影法、卷积反投影法（运用最广泛，运算量小、速度快等优点）。,7.1 概述,7.

2、1 概述,补充（一）：投影重建概述,概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重建图。 通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。 应用实例： 1、投射断层成像（transmission computed tomography，TCT，简称CT） 原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。,补充（一）：投影重建概述,（续）射线在通过物体时被物体吸收一部分，剩余部分被接受器接受。由于物体各部分对射线的吸收不同，所以接受器获得的射线强度实际上反映了物体各部分

3、对射线的吸收情况。 实例：CT，因为常用X射线，也称XCT。 如果 I0射线源的强度； K（x）沿射线方向物体点s的线性衰减系数 L辐射的射线 I穿透物体的射线强度 则有,补充（一）：投影重建概述,如果物体是均匀的，则： 其中，I代表穿透物体后的射线强度，I0代表没有物体时射线强度，L是射线在物体内部的长度，k代表物体的线性衰减系数。 2、发射断层成像（emission computed tomography，ECT） 原理：发射源在物体内部。一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物体外检测其放射出来的量。 通过这种方法可以了解离子在物体内的运动情况和分布，从而可以检测到与生理有关的状况。,

4、补充（一）：投影重建概述,实例：PET ( positron emission tomography)、SPET (single positron emission CT)。 3、反射断层成像（reflection CT，RCT） 原理：利用能量的反射来 测定物体的表面特性。 实例：雷达系统，雷达发 射器从空中向地面发射无线 电波。雷达接收器在特定的 角度所接受到的回波强度是 地面反射量在一个扫描阶段 的积分。,补充（一）：投影重建概述,如上图，在合成孔径雷达成像中，雷达是运动的而目标不动。 设 v雷达沿y轴的运动速度； t有效积累时间； 电波波长。 两个目标沿雷达运动方向分布，目标A位于雷达

5、孔径中心线上（x轴），目标B与目标A的位移量为d。雷达与目标A的最近距离为R，此时定义为时间零点，t=0。设在t=0前后距离的变化量为R。 当R R时 R=(x-d)2/2R。,补充（一）：投影重建概述,在目标A处回波信号的双程（电波在天线和目标来回传播）超前相位为： 在目标B处回波信号的双程超前相位为： 如果发射信号足够的高，回波信号认为是连续的，此时对-T/2到T/2时间段积分来处理回波信号： 设在积分时间内均匀发射，则目标B的回波响应为：,7.2 傅立叶变换重建,它是一个最简单的重建方法，一个三维（或二维）物体，它的二维（或一维）投影的傅立叶变换恰好与此物体的傅立叶变换的主题部分相等，傅

6、立叶变换的重建方法正是以此为基础的。 方法：通过对投影进行旋转和部分傅立叶变换可以首先构造整个傅立叶变换的平面，然后再通过傅立叶反变换就可以得到重建后的物体。 傅立叶变换重建原理： f（x,y）为一图像，则它的二维函数的傅立叶变换：,7.2 傅立叶变换重建,图x轴像在上的投影： 投影的一维傅立叶变换： 在二维傅立叶变换中，令v=0，则有： 现在假设将函数投影到一条旋转角度为的直线上，如图示：,7.2 傅立叶变换重建,图 72 投影几何关系,7.2 傅立叶变换重建,定义旋转坐标： 而将函数投影的直线选为 x 轴。投影点通过对距离 t 轴为 S1处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示：

7、这里,积分路径是沿着直线s1=xcos+ysin进行。此投影的一维付氏变换为: 展开后为： 对指数进行变换，令：,7.2 傅立叶变换重建,因而,若点（u，v）在一条角一定而距原点距离为r的直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，即 :F(u,v)=G(r,)。 因为投影变换G(r,)中的所有r和都是已知的，为了得到图像函数，我们进行反傅立叶变换，即： 这就是图像的二维重建技术，同理可推广到三维情形（见课本p350页推导过程）。 但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维

8、反变换。由此得出结论，即：,7.2 傅立叶变换重建,三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。 （补充）傅立叶变换重建法是一种变换重建方法，变换重建方法主要包括以下三个步骤： 1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数； 2、利用反变换公式解未知量； 3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求。,7.2 傅立叶变换重建,（补充）傅立叶变换投影定理： 设G(R ,)是g（s,）对应第一变量s的一维傅立叶变换，即： F（X，Y）是f（x，y）的二维傅立叶变换： 那么有如下投影定理： 即f（x，y）以角进行投影的傅立叶变换等于f（x，

9、y）的傅立叶变换在傅立叶空间（R,）处的值。,7.3 卷积重建法,（补充）逆投影原理：从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平面上的一个分部。典型的方法是卷积逆投影重建。 卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅立叶变换投影定理推出。 按照二维傅立叶反变换标准定义，有 作代换： ，,7.3 卷积重建法,(续)写成級坐标(R,)形式： （7.1） 利用傅立叶共轭对称性，有： （7.2） 令： （7.3） 则（7.2）可表示为： （7.4）,7.3 卷积重建法,(续)在式(7.2)中，当用FFT计算投影数据的傅立叶变换F(R，)

10、时，投影数据g(，)总被有限截断。当的采样间隔为d时，在变换域R的变化范围为-1/2d到1/2d，于是投影反变换重建公式可以近似写成： 采用标记： （7.5） 根据前式(7.3)，结合傅立叶投影定理可知：,7.3 卷积重建法,（续）,7.3 卷积重建法,由上式可以得出，要实现对已经得到的投影数据实现图像重建，则可以采取两步：首先将投影数据 和响应脉冲滤波器(7.5)进行卷积，然后由式(7.4)对不同旋转角求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。 卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。,7.4 代数重建方法,列举一

11、个简单实例（数字图像处理与分析P155） (补充)代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实测投影值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。 具体实施步骤： （l）对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从而得到一组初始计算图像；,7.4 代数重建方法,（2）根据假设图像，计算对应各射线穿过时，应得到的各个相应投影值Z1*, Z2 *, Zn *； （3）将计算值Z1*, Z2 *, Zn *和对应的实

12、测值Z1, Z2 , Zn 进行比较，然后取对应差值 Zi Zi *作为修正值； （4）用每条射线的修正值修正和该射线相交的诸像素值； （5）用修正后的象素值重复l4各步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所期望的值为止。 只要所测得的射线投影值Z1, Z2 , Zn组成一个独立的集合，那么代数重建便将收敛于唯一解。,7.5 重建的优化问题,图像重建中的问题也可以通过选择一合理的准则函数来解决。此函数用来衡量真实图像与重建图像之间的差异，并且开发一种使此准则函数最小的解决方案。Kaskyap 和Mittal于1975年巧妙地将重建问题转变成最小化(函数)问题，目前已有多种基于该准则的代数解决

13、方案。 考虑无噪声情况，把图像表达成列向量：,7.5 重建的优化问题,考虑到投影射线是以相对于水平角度k入射，如图所示，还应注意到P个这样的投影，其角度分别 令gk是角度为k时投影的向量值，显然，可以认为它有n个分量组成： 将各角度的投影向量纵向排列,可得到pn个分量组成的向量： 投影值假定为下述图像值得线性组合，则： 7-7,7.5 重建的优化问题,7.5 重建的优化问题,区域Di（i=1,2,pN）表示对投影值gk,l有贡献的所有图像像素所决定的区域。于是式（7-7）又可表示成： 式中： 注意到方程的解是：当且仅当p=n时，有唯一解；当pn时，有多个解。现在图像重建问题已经简化为解线性方程

14、组的问题。下一个要考虑的问题是准则函数的选择。 一种优化准则可以选为：重建图像像素和其邻域象素灰度相近。这是一种平滑准则，即非均匀准则函数，表示如下：,7.5 重建的优化问题,其中C是8邻域平滑矩阵。矩阵C是结构半正定。注意到 ，对于均匀图像 。因此，需要使用约束条件来解决最小化问题。这可能会使不确定系统得不到唯一解。如果加上能量条件作为约束条件，便可以得到重建图像的唯一解，此时准则函数 具体表达式： 7-8 使用拉格朗日乘数法对（7-8）取最小值，,7.5 重建的优化问题,对f求偏导数： 令偏导数为0，得到： 由于C半正定，则I+aC是非奇异，得 两边乘B得： 于是 式中，#号表示伪逆（对应

15、Pn的情况，当Pn时即为逆）。对于重建图像f可以写成f=Fg 这里,7.5 重建的优化问题,（补充）上式给出了无噪声情况下的最优化重建。在有噪声情况下，获得的投影向量中还会有噪声，即投影向量为g=Bf+n。重建时的约束条件就是使这一噪声尽可能小，此时，辅助函数可以改写成： 极小化上式，便可求得最优重建图像f，令,7.5 重建的优化问题,于是： 上式为正定非奇异阵，所以逆存在，于是给出了有噪声情况下原图像的最优化重建。,7.6 图像重建中的滤波器设计,为说明滤波器设计中的问题，我们先复习最简单的解决方案即卷积算法的步骤，即： 1)、收集投影数据 ,并将数据存放于一矩形空间，即所谓的layergr

16、am。 2)、对于一固定值，从方向线性地过滤layergram，即用|R|的逆变换对数据卷积：,7.6 图像重建中的滤波器设计,3）对一特定值，通过Rho-滤波，对 layergram以为积分变量作积分，计算出反投影。即： 这里， 图像重建主要包括三个步骤。 第一步，数据采集；将投影数据收集并存放于layergram中。,7.6 图像重建中的滤波器设计,第二步，滤波；滤波对重建图像的质量至关重要。 第三步，反向投影；这是一个积分过程，此过程需要对每一个图像元素进行计算，因此，计算量很大。 图像重建的精度很大程度依赖于滤波器h()，目前一些良好的滤波器很接近|R|的响应，但不是实际的而是理论的响应，原因在于|R|对无限的A不收敛，而实际上A一定为有限的，且对一有限的A会产生吉布斯（Gibbs）现象。,7.6 图像重建中的滤波器设计,以下给出几种滤波器的设计： 由Ramachandran 和Lakshiminarayanan（1971）定义的滤波器空间脉冲响应如下式：,7.6 图像重建中的滤波器设计,这个滤波器当 时用线性内插 这个滤波器的频率响应函数是 这里 项来自于取样间的线性内插到结果。,7.6 图像重建中的滤波器设计,Shapp 和Logan(1974)用相同的线性内插改进了上面滤波器函数，即： 其相应的频率响应为 为解决噪音的问题，Shapp 和Logan提出了一种