三重积分课件

1、第四节 三重积分的概念 和计算方法,三、小结 思考题,一、三重积分的定义,二、直角坐标下三重积分的计算,问题的引出,定积分在几何上表示曲边梯形的面积， 二重积分在几何上表示曲顶柱体 的体积，因为我们生活在三维空间 三重积分没有几何意义。,但它在物理等其它学科中同样有重要作用，,在二重积分的应用时，我们曾求过平面薄片 的质量，,现我们求空间物体的质量,例,分割,近似替代,求和,取极限,各小闭区域的直径 中的最大值,一、三重积分的定义,4、三重积分的物理背景,说明,2、三重积分与二重积分有着完全相同的七条性质,1、若函数 在闭区域 上连续， 则三重积分必定存在。,W,1先一后二法,二、直角坐标系下

2、三重积分的计算,（选择先z后xy）,得,先对z、次对y、最后对x的三次积分,（选择先z后xy）,试点法,z=1-x-2y,y=(1-x)/2,解,四面体,注意 也可不画立体图做三重积分.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6

3、, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4.,.,D,6,2,4,D,.,6,2,4,1 画出投影区域图 2 找出投影区域及上顶、下底,不

4、画立体图做三重积分,Dxy,.,解,把围成的所有面向xy面投影,y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 x+y=6,Dxy :,y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成,6,Dxy,上顶：,下底：,y型,y2=x,.,5.,y2=x,.,5.,。,。,y2=x,.,5.,D,1 画出投影区域图 2 找出投影区域及上顶、下底,Dxy,例3,不画立体图做三重积分,解,把围成的所有面向xy面投影,得,2先二后一法（截面法）,（被积分函数只含有一个变量时，常用此方法）,截面法的一般步骤：,（被积函数有哪个变量就后积哪个变量）,0,y,x,2先二后一法（截面法）,（被积分函数只含有一个变量时，常用此方法）,截面法的一般步骤：,（被积函数有哪个变量就后积哪个变量）,解,先二后一法（截面法）,原式=,原式,解,如图,请你动手做,S1,解,解,如图，,请你动手做,（1）求两个曲顶柱体的体积之差。,三重积分的定义和计