6-对偶理论的经济学应用

1、第 6 章对偶理论的经济学应用,6.1 对偶问题的定义及性质,一、对偶问题的定义 通过一个例子来说明对偶问题。 1. 求周长为 a ，面积最大的矩形 根据题意可建立如下最优化模型： max S = xy s.t. 2(x + y) = a,6.1 对偶问题的定义及性质,通过构造 Lagrange 函数，求解一阶必要条件，并验证二阶充分条件，可得 (x*, y*,*) = (a/4 , a/4, a/8) 是模型的均衡解。解得：S* = a2/16 。 2. 求面积为 a2/16 ，周长最小的矩形 该问题可写为：min Z = 2(x + y) s.t. xy = a2/16 通过构造 Lagr

2、ange 函数，求解一阶必要条件，并验证二阶充分条件，可得 (x*, y*,*) = (a/4 , a/4, 8/a) 是模型的均衡解。解得：Z* = a 。,6.1 对偶问题的定义及性质,比较一下：二者均衡解相同，且 Lagrange 乘子互为倒数。 称这两个问题为对偶问题，若其中一个被称为原始问题，则另一个就被称为对偶问题。 对偶是两个最优化模型间的一种关系： 如果一个模型求极大化，另一个模型求极小 化，极大化模型的目标函数是极小化模型的约束 条件，极小化模型的目标函数是极大化模型的约 束条件，而且如果极大化模型的最优值为极小化 模型中约束条件的右端值、极小化模型的最优值,6.1 对偶问题

3、的定义及性质,为极大化模型中约束条件的右端值。那么，把这 两个模型称为对偶模型，若一个为原始模型，则 另一个问题为它的对偶模型。 二、对偶问题的性质 对偶模型的对偶为原模型，即互为对偶； 原模型与对偶模型均衡解相同； 原模型与对偶模型 Lagrange 乘子互为倒数。,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,一、原始问题消费者的效用极大化 实际上，这一问题就是我们前面讲过的带有等式约束的消费者效用极大化问题，即： max U = U(x, y) s.t. Px x + Py y = M 其中：U(x, y) 为消费者的效用函数， x 和 y 表示两种商品的消费量，Px 和 Py 表示两种

4、商品的价格，M 为消费者的货币收入即预算约束。,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,我们在前面已求解了该问题。首先，构建上述效用极大化问题的 Lagrange 函数为： L(x, y,) = U(x, y) +(M Px x Py y) 一阶必要条件为： 二阶充分条件为： Lx = U x Px = 0 Ly = U y Py = 0 L= M Px x Py y = 0,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,在满足二阶充分条件的基础上，由一阶必要条件可求解得到效用极大化问题的均衡解： xM = xM(Px , Py , M) yM = yM(Px , Py , M) M =

5、M(Px , Py , M) 将 xM 和 yM 代入目标函数中，得：U* = U*xM(Px, Py, M), yM(Px, Py, M) = V(Px, Py, M) ，其中 V(Px, Py, M) 称为间接效用函数，是货币收入和商品价格的函数，表示在收入限制下的极大效用值。,马歇尔需求函数,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,二、对偶问题消费者的支出极小化 实际上，这一问题就是我们前面讲过的带有等式约束的消费者支出极小化问题，即： min E = xPx + yPy s.t. U(x, y) = U * 效用极大化问题最优值 其中：U(x, y) 为消费者的效用函数， x 和

6、 y 是两种商品的消费量，Px 和 Py 是两种商品的价格。,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,我们在前面也求解过其均衡解。首先，构造 Lagrange 函数： L = xPx + yPy +U * U(x, y) 一阶必要条件为： 二阶充分条件为： Lx = Px U x = 0 Ly = Py U y = 0 L = U * U(x, y) = 0,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,在满足二阶充分条件的基础上，由一阶必要条件可求解得到支出极小化问题的均衡解： xH = xH(Px , Py , U *) yH = yH(Px , Py , U *) H =H(Px

7、, Py , U *) 将 xH 和 yH 代入目标函数中，得到：PxxH(Px, Py, U*) + PyyH(Px, Py, U*) = E(Px, Py, U*) ，称 E(Px, Py, U*) 为支出函数，是效用和商品价格的函数，表示为了获得效用 U* 所需要的最低支出的极小值函数。,希克斯需求函数,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,三、效用极大化与支出极小化的对偶关系 由前面可知，当支出极小化模型中的约束 U * 为效用极大化模型所求极大值时，两模型互为对偶模型。下面分析一下它们均衡解和必要条件之间关系。 1. 二者均衡解的必要条件之间的关系 相同 由效用极大化问题的一

8、阶必要条件可得：,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,表明，要达到效用极大化，边际效用与商品价格之比相等。几何解释为：无差异曲线切线斜率与预算线斜率相等，即无差异曲线与预算线相切。 由支出极小化问题的一阶必要条件可得： 表明，要达到支出极大化，边际效用与商品价格之比相等。几何解释为：预算线斜率与无差异曲线切线斜率相等，即预算线与无差异曲线相切。,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,2. 均衡解之间的关系 相同 效用极大化问题均 支出极小化问题均 衡解是根据如下一阶必 衡解是根据如下一阶必 要条件方程组解出： 要条件方程组解出： Lx = U x Px = 0 Lx = Px

9、 U x = 0 Ly = U y Py = 0 Ly = Py U y = 0 L= M Pxx Pyy = 0 L = U * U(x, y) = 0,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,由于= 1/，当极小化问题中的目标效用水平等于极大化问题中得到的目标效用水平 U* 时，以上两个方程组为同解方程组，因此有： xM(Px , Py , M) = xH(Px , Py , U *) yM(Px , Py , M) = yH(Px , Py , U *) 即：效用极大化问题和支出极小化问题得到的均衡解相同，但要注意的是，虽然均衡解相同，但均衡解是不同外生变量的函数，因此比较静态分析

10、会产生不同的结果。 举个例子：书 p. 175 ,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,四、斯勒茨基等式再推导 由效用极大化问题和支出极小化问题间的对偶关系可知，二者之间存在相同的均衡解，即： x1M(P1, P2, , Pn, M) = x1H(P1, P2, , Pn, U *) x2M(P1, P2, , Pn, M) = x2H(P1, P2, , Pn, U *) xnM(P1, P2, , Pn, M) = xnH(P1, P2, , Pn, U *),6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,其中：M = M*(P1, P2, , Pn, U *) 表示当商品价格发

11、生变化时，为使效用水平保持不变 (U = U*) 而需要的最低货币收入量。 对上述等式两边 关于第 j 个商品价格 Pj 求偏导有： ,6.2 消费者的效用极大化和支 出极小化问题,我们再来看 M*是什么？ 支出极小化问题推导出来的支出函数，即极小化问题的最优值函数。 于是，根据包络定理有： 所以有： 即： ,斯勒茨基等式,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,一、原始问题厂商的产出极大化 假设 f(x1 , x2) 为生产函数，x1 和 x2 是两种生产要素（使用量），w1 和 w2 是两种生产要素的价格。那么，成本 C* 一定情况下的产出极大化问题为： max y = f(x1 ,

12、x2) s.t. w1x1 + w2x2 = C* 构造 Lagrange 函数： L = f(x1 , x2) +(C* w1x1 w2x2 ),6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,一阶必要条件为： 二阶充分条件为： 在满足二阶充分条件情况下，求解一阶必要条件的方程组可解得均衡解：x1* = x1*(w1 , w2 , C*) 、x2* = x2*(w1 , w2 , C*) 和* =*(w1 , w2 , C*) ，代入目标函数可得生产函数：y* = f(x1* , x2*) = y*(w1 , w2 , C*) ，其中 y*(w1 , w2 , C*) 表示成本一定情况下获得的最

13、大产出。,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,二、对偶问题厂商的成本极小化 成本极小化问题的约束是产出极大化问题求出的最优产出水平 y* ，即成本极小化模型可写为： min C = w1x1 + w2x2 s.t. f(x1 , x2) = y* 其中：f(x1 , x2) 为生产函数，x1 和 x2 是两种生产要素（使用量），w1 和 w2 是生产要素的价格。,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,我们在第 4 章也求解过其均衡解。首先，构造 Lagrange 函数： L(x1 , x2 ,) = w1x1 + w2x2 +y* f(x1 , x2) 一阶必要条件为： 二阶充分

14、条件为：,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,如果二阶充分条件得到满足，则求解一阶必要条件的方程组可解得： x1* = x1*(w1 , w2 , y*) x2* = x2*(w1 , w2 , y*) * =*(w1 , w2 , y*) 将均衡解代入目标函数中得到总成本函数：C*(w1 , w2 , y*) = w1x1* + w2x2*，其中 C*(w1 , w2 , y*) 表示为获得产出水平 y* 所需最小成本。 举个例子：书 p. 181 ,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,三、生产函数与成本函数的关系 在实际中，生产函数很难观测，不过，可以利用成本函数和生产函数

15、的对偶性，得出其生产函数。 基本思路：首先，假定成本函数具有某一种函数形式；然后，利用计量经济学的合适方法估计出成本函数；最后，利用对偶关系求出生产函数。,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,举个例子：假设厂商的生产只用两种投入要素 x1 和 x2，价格分别为 w1 和 w2；再假设成本函数为柯布道格拉斯函数；厂商的成本投入 C* 已知。 假定利用合适的计量经济方法估计出了成本函数：C = ykw1aw21-a ，其中 0 a 1、k 是任意正数。 下面我们利用对偶关系来求解生产函数。厂商的成本极小化问题可写为： min C = w1x1 + w2x2 s.t. f(x1 , x2) = y*,6.3 厂商的产出极大化和成本 极小化问题,构造 Lagrange 函数： L(x1 , x2 ,) = w1x1 + w2x2 +y* f(x1 , x2) 利用一阶必