高考数学复习专题练习第3讲基本不等式

1、第 3 讲 基本不等式 一、选择题 1下列函数中，最小值为 4 的个数为() yx ysin x(0 x) 4 x 4 sin x yex4ex ylog3x4logx3 A4 B3 C2 D1来源:学.科.网 Z.X.X.K 解析 中，由于 x 的符号不确定，故不满足条件；中，0sin x1，而 应用不等式时等号成立的条件为 sin x2， 故不满足条件 ； 正确 ； 中 log3x， logx3 的符合不确定，故不满足条件，综上只有满足条件 答案 D 2函数 y(x1)的最小值是 x22 x1 () A22 B2233 C2 D23 解析x1，x10， y x22 x1 x22x12x13

2、 x1 (x1)222. x122x13 x1 3 x1 3 当且仅当 x1，即 x1 时取等号 3 x1 3 答案A 3小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则 () Aav Bvabab C.v Dvab ab 2 ab 2 解析设甲、乙两地之间的距离为 s. ab，v0，va. 2ab ab aba2 ab a2a2 ab 答案A 4某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月 库存货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处 建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使

3、这两项费 用之和最小，仓库应建在离车站() A5 km 处 B4 km 处 C3 km 处 D2 km 处 解析 令 y1 ，y2k2x，当 x10 km 时， k1 x y12 万元，y28 万元，2，即 k120， k1 10 且 8k210， 即 k2 ，yy1y2 x28. 4 5 20 x 4 5 20 x 4x 5 当且仅当，即 x5 km时取“” 20 x 4x 5 答案 A 5已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是() A3 B4 C. D. 9 2 11 2 解析 方法一：因为 x2y2xy8，所以 y， 8x 2x2 所以 x2yxx 8x x1 x19

4、x1 (x1)2224 9 x1 9 ， ( 当且仅当x1 9 x1，即x2时等号成立，此时y1) 故选 B. 方法二：因为 x2y2，2xy 所以 2xy 2， ( x2y 2 ) 所以 x2y2xyx2y， x2y2 4 设 x2yA，则 A8.即 A24A320，来源 XK A2 4 解此不等式得 A8(舍去)或 A4， 即 x2y4，故选 B. 答案 B 6已知两条直线 l1：ym 和 l2：y(m0)，l1与函数 y|log2x|的图象从 8 2m1 左至右相交于点 A，B，l2与函数 y|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D.记 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分

5、别为 a， b.当 m 变化时， 的最小值为 b a () A16 B8 C8 D422 3 4 3 4 解析如图，作出 y|log2x|的图象，由 图可知 A，C 点的横坐标在区间(0,1)内， B， D 点的横坐标在区间(1， )内， 而且 xCxA与 xBxD同号，所以 ， b a xBxD xCxA 根据已知|log2xA|m， 即log2xAm，所以 xA2m.同理可得 xC2， xB 8 2m1 2m， xD2，所以 2 8 2m1 b a 2m2 8 2m1 2 8 2m12 m 2m2 8 2m1 1 2 8 2m1 1 2m 2m2 8 2m1 2m2 8 2m1 2m2 8

6、 2m1 m ，由于m 4 ，当且仅当 8 2m1 8 2m1 8 2m1 2m1 2 1 2 1 2 7 2 ，即 2m14，即 m 时等号成立，故 的最小值为 2 8 2m1 2m1 2 3 2 b a 7 2 8 . 2 答案B 二、填空题 7已知函数 f(x) ，若 f(x)2x0，在(0，)上恒成立，则 a 的取值 1 a 2 x 范围是_ 解析 因为 f(x)2x 2x0 在(0，)上恒成立， 1 a 2 x 即 2在(0，)上恒成立， 1 a ( x1 x) 24，当且仅当 x1 时等号成立 ( x1 x) 4，解得 a0 或 a . 1 a 1 4 答案 (，0) 1 4，)

7、8某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的 总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x 25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是 _万元 解析每台机器运转 x 年的年平均利润为 18， 而 x0， 故 18 y x (x 25 x) y x 28，当且仅当 x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万25 元 答案58 9若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_ 解析由 a，bR，由基本不等式得 ab2，ab 则 abab323，ab 即 ab230(3)(1)0 3，abababa

8、b ab9. 答案9，) 10已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z的最小值为_。 (x 1 x)(y 1 y) 解析zxy xyxy2， (x 1 x)(y 1 y) 1 xy y x x y 1 xy xy22xy xy 2 xy 令 txy， 则 00) 16x x28 (1)求 f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数 a，b，恒有 f(a)b23b. 21 4 (1)解f(x)2， 16x x28 16 x8 x 16 2 x8 x 2 当且仅当 x 时，即 x2时，等号成立 8 x 2 所以 f(x)的最大值为 2 . 2 (2)证明b23b 23， 21 4 (b 3 2)

9、当 b 时，b23b有最小值 3， 3 2 21 4 由(1)知，f(a)有最大值 2，2 对任意实数 a，b，恒有 f(a)b23b. 21 4 14桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形 式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该 项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中 间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘 四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周 围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面 积为 S 平方米 (1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值 解(1)由图形知，3a6x，a. x6 3 则总面积 Sa2a ( 1 800 x 4) ( 1 800 x 6) a ( 5 400 x 16) x6 3( 5 400 x 16) 1 832， ( 10 800 x 16x 3) 即 S1 832(x0) ( 10 800