高考数学复习专题练习第3讲 导数的综合应用

1、第 3 讲 导数的综合应用 一、选择题 1用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的 一边比高长 0.5 m，则当高为_米时，容器的容积最大 解析 由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为 x 米， 则 Vx(x0.5)(3.22x)， V6x24.4x1.60， 解 15x211x40，得 x1，x(舍去) 4 15 答案 1 2从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一 个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 () A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3 解析设盒子容积为 y cm3，盒子

2、的高为 x cm，则 x(0，5) 则 y(102x)(162x)x4x352x2160 x， y12x2104x160.令 y0，得 x2 或(舍去)， 20 3 ymax6122144 (cm3) 答案C 3若关于 x 的不等式 x33x29x2m 对任意 x2，2恒成立，则 m 的取 值范围是() A(，7 B(，20 C(，0 D12，7 解析令 f(x)x33x29x2，则 f(x)3x26x9，令 f(x)0，得 x1 或 x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为 f(2) 20，故 m20，可知应选 B. 答案B 4函数 f(x)的定义域是 R，f(0

3、)2，对任意 xR，f(x)f(x)1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为 () Ax|x0 Bx|x0 Cx|x1 Dx|x1 或 0xexex0， 所以 g(x)exf(x)ex为 R 上的增函数 又因为 g(0)e0f(0) e01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0. 答案A 5已知 f(x)，g(x)都是定义在 R 上的函数，g(x)0，f(x)g(x) f(x)g(x)， 且 f(x)axg(x)(a0， 且 a1)， .若数列 f（1） g（1） f（1） g（1） 5 2 f（n） g（n） 的前 n 项和大于 62，则 n 的最小值为 () A8 B7 C6

4、 D9 解 析 构 造 函 数 h(x) ax， 由 已 知 条 件 可 知 h(x) f（x） g（x） 0，则 h(x)在 R 上为增函数，得 a1，又 aa f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 1 ，解得 a2 或 a (舍去) 5 2 1 2 所以2n，其前 n 项和 Sn2222n2n12，由 2n1262， f（n） g（n） 解得 2n126，n5，故 n 的最小值为 6，选 C. 答案C 6已知函数 f(x)x3ax2bxc，若 f(x)在区间(1，0)上单调递减，则 a2b2 的取值范围是 () A. B. 9 4，)(0， 9 4 C. D. 9 5，)(0， 9

5、 5 解析由题意得 f(x)3x22axb，f(x)0 在 x(1，0)上恒成立，即 3x2 2axb0 在 x(1，0)上恒成立， a，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示则点 O 2a b3 0， b 0， ) 到直线 2ab30 的距离 d，a2b2d2 ，a2b2的取值范围为 3 5 9 5 . 9 5，) 答案C 二、填空题 7直线 ya 与函数 f(x)x33x 的图像有相异的三个公共点，则 a 的取值范围 是_ 解析令 f(x)3x230， 得 x1， 可得极大值为 f( 1)2， 极小值为 f(1)2，如图，观察得 2a2 时 恰有三个不同的公共点 答案(2，2) 8若函数

6、f(x)xasin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范围为_ 解析f(x)1acos x， 要使函数 f(x)xasin x 在 R 上递增， 则 1acos x0 对任意实数 x 都成立 1cos x1， 当 a0 时，aacos xa，a1，0a1； 当 a0 时适合； 当 a0 时，aacos xa， a1，1a0，试判断 f(x)在定义域内的单调性； (2)若 f(x)在1，e上的最小值为 ，求 a 的值； 3 2 (3)若 f(x)0 或 f(x)0确定单调性 (2)根据单调性求 f(x)在1，e上的最小值列方程求解 (3)f(x)xln xx3求 xln xx3的最大值 解(

7、1)由题意知 f(x)的定义域为(0，)， 且 f(x) . 1 x a x2 xa x2 a0，f(x)0， 故 f(x)在(0，)上是单调递增函数 (2)由(1)可知，f(x). xa x2 若 a1，则 xa0， 即 f(x)0 在1，e上恒成立， 此时 f(x)在1，e上为增函数， f(x)minf(1)a ， 3 2 a (舍去) 3 2 若 ae，则 xa0， 即 f(x)0 在1，e上恒成立， 此时 f(x)在1，e上为减函数， f(x)minf(e)1 ， a e 3 2 a (舍去) e 2 若ea1，令 f(x)0 得 xa， 当 1xa 时，f(x)0， f(x)在(1，

8、a)上为减函数； 当ax0， f(x)在(a，e)上为增函数， f(x)minf(a)ln(a)1 ， 3 2 a . e 综上所述，a . e (3)f(x)x2，ln x 0，axln xx3. 令 g(x)xln xx3， h(x)g(x)1ln x3x2， h(x) 6x. 1 x 16x2 x x(1，)时，h(x)0， h(x)在(1，)上是减函数 h(x)h(1)20，即 g(x)0， g(x)在(1，)上也是减函数 g(x)g(1)1， 当 a1 时，f(x) 0， g（1） 0，) 解得3m1. (1)求证函数 F(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增； (2)若函数 y

9、3 有四个零点，求 b 的取值范围； |F（x）b 1 b| (3)若对于任意的 x1，x21，1时，都有|F(x2)F(x1)|e22 恒成立，求 a 的取值范围 (1)证明F(x)f(x)g(x)axx2xln a， F(x)axln a2xln a(ax1)ln a2x. a1，x0，ax10，ln a0，2x0， 当 x(0，)时，F(x)0，即函数 F(x)在区间(0，)上单调递增 (2)解由(1)知当 x(，0)时，F(x)4，即0， b1 b3 1， b1 b3 1，) 1 b b24b1 b 解得 b2或 2b0)， 1 x 则 H(x)1 0， 1 x2 2 x x22x1 x2 （x1）2 x2 H(x)在(0，)上单调递增 a1，H(a)H(1)0.F(1)F(1) |F(x2)F(x1)|的最大值为