高考数学复习压轴解答题强化训练(二)

1、 压轴解答题强化训练(二)压轴解答题强化训练(二) 函数与导数函数与导数 (建议用时:60 分钟)(建议用时:60 分钟) 1.(2014佛山模拟)已知函数 f=x- lnx. (1)若 a=1,求 f在点处的切线方程. (2)求函数 f的极值点. (3)若 f0 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】f的定义域为. (1)若 a=1,则 f=x- lnx, 此时 f=2. 因为 f=2x+1-,所以 f= , 所以 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-2=,即 5x-2y-1=0. (2)由于 f=x- lnx,x. 当 a0 时,f=x2+ax- lnx,f=2x+a-=, 令

2、f=0,得 x1=0, x2=0(舍去), 且当 x时,f0, 所以 f在上单调递减,在上单调递增,f的极小值点为 x= . 当 a0 时,f= ()当 x-a 时,f=,令 f=0, 得 x1=,x2=-a,即-a0,则当 x(-a,x1)时,f0,所以 f在区间上单调递减,在(x1,+)上单调递增.此时 f(x)的 极小值点为 x=. ()当 0x-a 时, f=-2x-a-=. 令 f=0,得-4x2-2ax-1=0,记=4a2-16, 若0,即-2a0,即 a-2 时,则由 f=0 得 x3=,x4=且 0x3x4-a, 当 x时,f0; 当 x时,f0, 所以 f在区间上单调递减,在

3、上单调递增,在上单调递减. 综上所述,当 a-时,f的极小值点为 x=. (3)函数 f的定义域为 x. 由 f0,可得(*) 当 x时,0,所以 a-1; 当 x1 时,不等式(*)恒成立等价于 a-x+恒成立. 令 g=-x-,则 g=. 令=-2x2-1+lnx, 则=-4x+ =0, 而=-2-1+ln1=-30, 所以=-2x2-1+lnx0, 即 g=0, 因此 g=-x-在上是减函数, 所以 g在 x上无最小值, 所以 a-x-不可能恒成立. 令 h=-x+,则 h=-1+=0, 因此 h在上是减函数, 所以 h-1. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是. 【加固训练】(20

4、14天津模拟)设函数 f(x)=x2+bln(x+1),其中 b0. (1)当 b 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性. (2)求函数 f(x)的极值点. 【解析】(1)函数 f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为, f(x)=2x+=. 令 g(x)=2x2+2x+b,则 g(x)在上递增,在上递减, g(x)min=g=- +b. 当 b 时,g(x)min=- +b0, g(x)=2x2+2x+b0 在上恒成立. 所以 f(x)0, 即当 b 时,函数 f(x)在定义域上单调递增. (2)分以下几种情形讨论:由(1)知当 b 时函数 f(x)无极值点. 当 b= 时,f(x)=

5、, 所以 x时,f(x)0, x时,f(x)0,所以 b= 时,函数 f(x)在上无极值点. 当 b 时,解 f(x)=0 得两个不同解,x1=,x2=. 当 b0 时,x1=-1, 所以 x1,x2, 此时 f(x)在上有唯一的极小值点 x2=. 当 0b 时,x1,x2, f(x)在和上都大于 0,f(x)在(x1,x2)上小于 0, 此时 f(x)有一个极大值点 x1=和一个极小值点 x2=. 综上可知,当 b0 时,f(x)在上有唯一的极小值点 x2=; 当 0b0,得- x3, 由 f(x)0,得-1x0 或 0x2 时,(x)0; 当 0x0. 所以当 x=2 时,(x)取得最大值

6、, 即(x)max=(2)=ln2-1. 又当 x 无限趋近于 0 时,lnx 无限趋近于-,- x 无限趋近于 0, 进而有(x)=lnx- x 无限趋近于-. 因此函数(x)=lnx- x 的值域是(-,ln2-1, 即实数 m 的取值范围是(-,ln2-1. (3)这样的正数 k 不存在. 下面采用反证法来证明:假设存在正数 k,使得关于 x 的方程 f(x)=kg(x)有两个不 相等的实数根 x1和 x2,则 即 根据对数函数的定义域知 x1和 x2都是正数. 又由(1)可知,当 x0 时, f(x)min=f(3)=ln+ 0, 所以 f(x1)=ln+0, f(x2)=ln+0,

7、再由 k0,可得 g(x1)=lnx10,g(x2)=lnx20 x11,x21, 由于 x1x2,所以不妨设 1x1x2, 由和可得=, 利用比例性质得= 即=.(*) 由于 lnx 是区间(1,+)上的恒正增函数, 且 1x1x2, 所以1. 又 ln+ 是区间(1,+)上的恒正减函数, 且 1x11. 所以, 这与(*)式矛盾. 因此满足条件的正数 k 不存在. 3.(2014揭阳模拟)已知函数 f(x)=alnx+1(a0). (1)当 a=1 且 x1 时,证明:f(x)3-. (2)若对x(1,e),f(x)x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (3)当 a= 时,证明:f(i)2

8、(n+1-). 【解析】(1)要证 f(x)3-, 即证 lnx+-20, 令 m(x)=lnx+-2,则 m(x)= -=0. 所以 m(x)在(1,+)上单调递增, 所以 m(x)m(1)=0, 所以 lnx+-20,即 f(x)3-成立. (2)由 f(x)x 且 x(1,e)可得 a, 令 h(x)=,h(x)=, 由(1)知 lnx-1+ 1+ -=0, 所以 h(x)0,函数 h(x)在(1,e)上单调递增, 当 x(1,e)时,h(x)2(n+1-),即证 lni2n+4-4. 由(1)可知 ln(n+1)2-,又 n+2=(n+1)+12+, 所以2-=2-4(-), ln2+

9、ln3+ln(n+1) 2n-4(-1)+(-)+(-) =2n+4-4, 故f(i)2(n+1-)得证. 4.(2014菏泽模拟)设函数 f(x)=aex(x+1)(其中 e=2.71828),g(x)=x2+bx+2, 已知它们在 x=0 处有相同的切线. (1)求函数 f(x),g(x)的解析式. (2)求函数 f(x)在t,t+1(t-3)上的最小值. (3)若对x-2,kf(x)g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 【解析】(1)f(x)=aex(x+2),g(x)=2x+b. 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线. 所以 f(0)=2a,g(0)=b,所以 2a=b,f(0

10、)=a=g(0)=2,所以 a=2,b=4, 所以 f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2. (2)f(x)=2ex(x+2),由 f(x)0 得 x-2, 由 f(x)0 得 x-3,所以 t+1-2. 当-3t0 得 ex , 所以 xln ; 由 F(x)0 得 xln , 所以 F(x)在上单调递减, 在上单调递增. 当 ln e2时,F(x)在-2,+)上单调递增, F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)-2,即 1k0, 满足 F(x)min0. 综上所述,满足题意的 k 的取值范围为1,e2. 【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点: 1

11、.注意分类讨论 第(2)问应根据极值是否在区间内讨论. 2.注意能成立与恒成立的区别 “f(x)g(x)对一切 xI 恒成立”等价于“I 是 f(x)g(x)的解集的子集”;而 “f(x)g(x)对 xI 能成立”等价于“I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集”,两 者意义不同. 3.能够准确转化 第(3)问将恒成立问题转化为当 x-2 时,F(x)min0. 4.不要忽略解题后的总结 第(2)问和第(3)问求解完毕后,要进行总结,否则会导致步骤不完整而失分. 5.(2014漳州模拟)已知函数 f(x)=x2-(a+2)x+alnx. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值. (2

12、)设定义在 D 上的函数 y=g(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 l:y=h(x).当 x x0时,若0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=g(x)的“转点”.当 a=8 时, 问函数 y=f(x)是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请 说明理由. 【解析】(1)当 a=1 时, f(x)=2x-3+ =. 当 f(x)0 时,0x1, 当 f(x)0 时, x1, 所以函数 f(x)在和(1,+)上单调递增,在上单调递减, 所以当 x= 时,函数 f(x)取到极大值为- +ln , 当 x=1 时,函数 f(x)取到极小值为-2. (2)当 a=8 时,由函数 y=f(x)在其图象上一点 P(x0,f(x0)处的切线方程, 得 h(x)=(x-x0)+-10 x0+8lnx0. 设 F(x)=f(x)-h(x), 则 F(x0)=0, 且 F(x)=f(x)-h(x) =-