高考数学复习专题练习第3讲 函数的奇偶性

1、第 3 讲 函数的奇偶性 一、选择题 1 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(x2)f(x)， 又当 x(0,1)时， f(x)2x 1，则 f(log 6)等于 1 2 () A5 B6 C D 5 6 1 2 解析f(log 6)f(log26)f(log262) 1 2 log262log2(0,1)，f ， 3 2 (log 23 2) 1 2 f(log 6) . 1 2 1 2 答案D 2 已知定义在 R 上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)， 则f(6)的值为 () A1 B0 C1 D2 解析(构造法)构造函数f(x)sin x，则有f(x2)sin 2 2

2、x2 sin xf(x)，所以f(x)sin x是一个满足条件的函数，所以f(6) 2 2 sin 30，故选 B. 答案B 3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x3,5时，f(x)2|x4|，则 下列不等式一定成立的是 () Aff Bf(sin 1)f(cos 1) (cos 2 3) (sin 2 3) Cff(sin 2) (sin 6) (cos 6) 解析当 x1,1时， x43,5， 由 f(x)f(x2)f(x4)2|x44| 2|x|， 显然当 x1,0时，f(x)为增函数；当 x0,1时，f(x)为减函数，cos 2 3 ，sin ，又 fff，所

3、以 ff. 1 2 2 3 3 2 1 2 ( 1 2) ( 1 2 )( 3 2 )(cos 2 3) (sin 2 3) 答案A 4已知函数 f(x)Error!则该函数是 () A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减 C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减 解析当 x0 时，f(x)2x1f(x)； 当 x0 时，f(x)12(x)1 2xf(x)当 x0 时，f(0)0，故 f(x)为奇函数，且 f(x)12x在0，) 上为增函数，f(x)2x1 在(，0)上为增函数，又 x0 时 12x0，x0 时 2x10，故 f(x)为 R 上的增函数 答案C 5已知f(x)是定义在 R

4、 上的周期为 2 的周期函数，当x0,1)时，f(x)4x 1，则f(5.5)的值为() A2 B1 C D1 1 2 解析 f(5.5)f(5.56)f(0.5)40.511. 答案D 6设函数 D(x)Error!则下列结论错误的是 () AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数 解析显然 D(x)不单调，且 D(x)的值域为0,1，因此选项 A、D 正确若 x 是无理数，x，x1 是无理数；若 x 是有理数，x，x1 也是有理数 D(x)D(x)，D(x1)D(x)则 D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B 正确， C 错误 答案C

5、二、填空题 7若函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则实数 a_. 解析由题意知，函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则 f(1)f(1)，1|1a| 1|1a|，a0. 答案0 8f(x)2xsin x 为定义在(1,1)上的函数，则不等式 f(1a)f(12a)0 的解 集是 _. 解析f(x)在(1,1)上是增函数，且 f(x)为奇函数于是原不等式为 f(1 a)f(2a1)等价于Error! 解得 a0 时是单调函数，则满足f(2x)f的所有 ( x1 x4) x之和为_ 解析 f(x)是偶函数，f(2x)f， ( x1 x4) f(|2x|)f， (| x1 x4|) 又f(x)在(

6、0，)上为单调函数， |2x|， | x1 x4| 即 2x或 2x， x1 x4 x1 x4 整理得 2x27x10 或 2x29x10， 设方程 2x27x10 的两根为x1，x2，方程 2x29x10 的两根为x3， x4. 则(x1x2)(x3x4) 8. 7 2( 9 2) 答案 8 三、解答题 11(13 分)设定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间2,0上单调递减，若 f(1 m)f(m)，求实数 m 的取值范围 解由偶函数性质知 f(x)在0,2上单调递增， 且 f(1m)f(|1m|)， f(m)f(|m|)， 因此 f(1m)f(m)等价于Error! 解得： m2. 1

7、2 因此实数 m 的取值范围是. ( 1 2，2 12 已知函数f(x)对任意x，yR， 都有f(xy)f(x)f(y)， 且x0 时，f(x) 0，f(1)2. (1)求证f(x)是奇函数； (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值 (1)证明令xy0，知f(0)0；再令yx， 则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数 (2)解任取x1x2， 则x2x10， 所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2) f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2) f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6. 所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)

8、6. 13.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1 对称，当 x0,1时，f(x)2x1， (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x1,2时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值 解析 (1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象 关于x1 对称， 则f(2x)f(x)f(x)， 所以f(4x)f(2x)2 f(2x)f(x)，所以f(x)是以 4 为周期的周期函数 (2) 当x1,2时，2x0,1， 又f(x)的图象关于x1 对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2 (3) f(0)0，f(1)1，

9、f(2)0， f(3)f(1)f(1)1 又f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(0)f(1)f(2)f(2013) f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 14已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x2)f(x) (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若 f(x)为奇函数，且当 0 x1 时，f(x) x，求使 f(x) 在0,2 014上 1 2 1 2 的所有 x 的个数 (1)证明f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数 (2)解当 0 x1 时，f(x) x， 1 2 设1x0，则 0 x1， f(x) (x) x. 1 2 1 2 f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(x) x，即 f(x) x. 1 2 1 2 故 f(x) x(1x1) 1 2 又设 1x3，则1x21， f(x2) (x2) 1 2 又f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(x2)f(x2)f(x)，f(x) (x2)， 1 2 f(x) (x2)(1x3)