高考数学复习专题练习第4讲数列求和

1、第 4 讲 数列求和 一、选择题 1设数列(1)n的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数 n，Sn() A. B. n1n1 2 1n11 2 C. D. 1n1 2 1n1 2 解析 数列(1)n是首项与公比均为1 的等比数列， Sn. 11n 1 11 1n1 2 答案 D 2已知数列an的前 n 项和 Snn24n2，则|a1|a2|a10|() A66 B65 C61 D56 解析 当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1n24n2(n 1)24(n1)22n5.a21，a31，a43，a1015，|a1| |a2|a10|11 26466. 8115 2 答案 A 3在

2、数列an中，an，若an的前 n 项和为，则项数 n 为 1 nn1 2 013 2 014 () A2 011 B2 012 C2 013 D2 014 解析an ，Sn1，解得 n2 1 nn1 1 n 1 n1 1 n1 n n1 2 013 2 014 013. 答案C 4数列an满足 an1(1)nan2n1，则an的前 60 项和为() A3 690 B3 660 C1 845 D1 830 解析当 n2k 时，a2k1a2k4k1， 当 n2k1 时，a2ka2k14k3， a2k1a2k12，a2k1a2k32， a2k1a2k3，a1a5a61. a1a2a3a60(a2a3

3、)(a4a5)(a60a61)3711 (4301)30611 830. 30 3119 2 答案D 5若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数” ，则1100 这 100 个数中，能称为“和平数”的所有数的和是() A130 B325 C676 D1 300 解析 设两个连续偶数为 2k2 和 2k(kN)，则(2k2)2(2k)24(2k1)， 故和平数是 4 的倍数，但不是 8 的倍数，故在 1100 之间，能称为和平 数的有 41,43,45,47， 425， 共计 13 个， 其和为 413 125 2 676. 答案 C 6 数列an满足 anan1 (nN*)， 且

4、a11， Sn是数列an的前 n 项和， 则 S21 1 2 () A. B6 C10 D11 21 2 解析依题意得 anan1an1an2 ， 则 an2an， 即数列an中的奇数 1 2 项、 偶数项分别相等， 则 a21a11， S21(a1a2)(a3a4)(a19a20) a2110(a1a2)a2110 16，故选 B. 1 2 答案B 二、填空题 7在等比数列an中，若 a1 ，a44，则公比 q_； |a1|a2| 1 2 |an|_. 解析设等比数列an的公比为 q，则 a4a1q3，代入数据解得 q38，所 以 q2； 等比数列|an|的公比为|q|2， 则|an| 2n

5、1， 所以|a1|a2|a3| 1 2 |an| (12222n1) (2n1)2n1 . 1 2 1 2 1 2 答案22n11 2 8 数列an的前 n 项和为 Sn， a11， a22， an2an1(1)n(nN*)， 则 S100 _. 解析由 an2an1(1)n，知 a2k2a2k2， a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k 2k. S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246 100)502 600. 1002 50 2 答案2 600 9等差数列an中有两项 am和 ak(mk)，满足 am ，ak ，则该数列前 mk

6、1 k 1 m 项之和是 Smk_. 解析设数列an的首项为 a1，公差为 d.则有 Error!解得Error! 所以 Smkmk. 1 mk mkmk1 2 1 mk mk1 2 答案mk1 2 10把公差 d2 的等差数列an的各项依次插入等比数列bn中，将bn按原 顺序分成 1 项，2 项，4 项，2n1项的各组，得到数列cn： b1，a1，b2， b3，a2，b4，b5，b6，b7，a3，数列cn的前 n 项和为 Sn.若 c11，c22， S3.则数列cn的前 100 项之和 S100_. 13 4 解析：由已知得 b11，a12，b2 ， 1 4 令 Tn12222n12n1，

7、则 T663，T7127， 数列cn的前 100 项中含有数列an的前 6 项，含有数列bn的前 94 项， 故 S100(b1b2b94)(a1a2a6) 622. 1(1 4 ) 94 11 4 6 5 2 1 3130( 1 2 ) 186 答案 1 3130( 1 2 ) 186 三、解答题 11已知公差为 d(d1)的等差数列an和公比为 q(q1)的等比数列bn，满足集 合a3，a4，a5b3，b4，b51,2,3,4,5， (1)求通项 an，bn； (2)求数列anbn的前 n 项和 Sn. 解 (1)1,2,3,4,5 这 5 个数中成公差大于 1 的等差数列的三个数只能是

8、1,3,5； 成公比大于 1 的等比数列的三个数只能是 1,2,4. 而a3，a4，a5b3，b4，b51,2,3,4,5， a31，a43，a55，b31，b42，b54， a13，d2，b1 ，q2， 1 4 ana1(n1)d2n5，bnb1qn12n3. (2)anbn(2n5)2n3， Sn(3)22(1)21120(2n5)2n3， 2Sn321(1)20(2n7)2n3(2n5)2n2， 两式相减得 Sn(3)2222122022n3(2n5)2n2 12n1(2n5)2n2 3 4 Sn (2n7)2n2. 7 4 12已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，an1 S

9、n(n1,2,3，) 1 2 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnlog (3an1)时，求数列的前 n 项和 Tn. 3 2 1 bnbn1 解(1)由已知得Error! 得到 an1 an(n2) 3 2 数列an是以 a2为首项，以 为公比的等比数列 3 2 又 a2 S1 a1 ， 1 2 1 2 1 2 ana2 n2n2(n2) ( 3 2 ) 1 2( 3 2 ) 又 a11 不适合上式，anError! (2)bnlog (3an1)logn. 3 2 3 2 3 2( 3 2 ) n1 . 1 bnbn1 1 n1n 1 n 1 1n Tn 1 b1b2 1 b2b3

10、 1 b3b4 1 bnbn1 ( 1 1 1 2) ( 1 2 1 3) ( 1 3 1 4) ( 1 n 1 1n) 1. 1 1n n n1 13设数列an满足 a13a232a33n1an ，nN*. n 3 (1)求数列an的通项； (2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn. n an 解(1)a13a232a33n1an ， n 3 当 n2 时， a13a232a33n2an1， n1 3 得 3n1an ，an. 1 3 1 3n 在中，令 n1，得 a1 ，适合 an，an. 1 3 1 3n 1 3n (2)bn，bnn3n. n an Sn3232333n3n， 3

11、Sn32233334n3n1. 得 2Snn3n1(332333n)， 即 2Snn3n1，Sn . 313n 13 2n13n1 4 3 4 14将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9 已知表中的第一列数 a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且 b24， b510.表中每一行正中间一个数 a1，a3，a7，构成数列cn，其前 n 项和为 Sn. (1)求数列bn的通项公式； (2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列， 公比为同一个正数，且 a131. 求 Sn； 记 Mn|(n1)cn，

12、nN*，若集合 M 的元素个数为 3，求实数 的取 值范围 解(1)设等差数列bn的公差为 d， 则Error!解得Error! 所以 bn2n. (2)设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 n 行共有 135(2n1)n2个数，且 321342，a10b48， 所以 a13a10q38q3，又 a131，所以解得 q . 1 2 由已知可得 cnbnqn1，因此 cn2n n1 . ( 1 2 ) n 2n2 所以 Snc1c2c3cn， 1 21 2 20 3 21 n 2n2 Sn， 1 2 1 20 2 21 n1 2n2 n 2n1 因此 Sn44， 1 2 1 21 1 20 1 21 1 2n2 n 2n1 1 2n