大学物理量子2.ppt

1、1,1 波函数,对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微观粒子运动的基本方程。,一、波函数：,微观粒子，具有波粒二象性，为了把波动性和粒子性 统一起来，建立了薛定谔方程，方程的解（波函数） 即能很好的反映微观粒的波粒二象性。,一个沿x轴正向传播的频率一定的平面简谐波可用下式表示,2,上式是波动 方程的解,用指数形式表示：,取复数实部,对于动量为p、能量为E的微观粒子,3,称为波函数,改写,振幅波函数、定态波函数,4,二、波函数的统计意义,1、几率密度：单位体积内粒子出现的可能性,归一化,标准条件：,单值：在一个地方出现只有一种可能性,连续：不能突变,有限

2、：,某处几率越大，粒子出现的可能性越大，位置越准确,模的平方也可用共軛复数相乘而得到。 波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的几率，在这一点上不同于机械波，电磁波。,3、波函数的归一化：,看来任意一个波函数模的平方对体积积分 不一定等于1,6,若另有一个波函数：,则：,称为归一化波函数,模的平方即为几率密度,这两个波函数表示粒子的同一状态，由它们计算的几率密度是一样的。,7,4、粒子的平均位置可由概率分布算出：,三、薛定谔方程的建立,波函数是薛定谔方程的解，实际问题是 先建立薛定谔方程而根据边界条件求解 波函数。,8,当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）

3、和动量P之间的关系：,9,若粒子处在势场，还应考虑势能：,一维自由粒子,一维势场粒子,三维势场粒子,10,四、定态薛定谔方程,定态波函数,一维势场中的粒子,11,势场中一维定态薛定谔方程,12,一维自由粒子薛定谔方程,三维势场粒子的薛定谔方程,是 x y z 的函数,13,例：已知氢原子中电子的径向波函数为,A、a为常数，求 之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？,解：先归一化求出常数A,14,归一化波函数,在 之间出现的概率,径向概率密度,15,处出现的概率密度最大,概率密度与概率不一样,概率最大,16,2 势阱中的粒子,一、 势阱中的粒子：,设粒子在势场中运动,这样的势场称为方势阱，若

4、 无限大，称为 无限方势阱。粒子在阱内自由，不能越出阱外。 阱外波函数必为零。,电子受原子核作用力与此类似。,17,解下列定态薛定谔方程：,令,其通解为,18,利用边界条件求常数A、B,这是决定A、B的线行方程组。A、B不会全 等于零（否则 ）。系数行列式必须 等于零。,19,用欧拉公式展开 sin2ka=0,20,将 代入,则,n为奇数时,n为偶数时,归一化（-a,a)的波函数,n不同、能量不同、 波函数不同。,为该处粒子 出现的几率,23,讨论：,1、n=1时的能量为最低能量，也叫基态能量,2、能级差,2a很大，认为能量是连续的。,3、视为波,24,应在通解,乘上单色因子,25,是沿x轴正

5、向、负向传播的波，形成驻波。两端 为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。 n的取值不同,能量不同，波腹的数目不同。波腹 的数目等于n的数目。2a为半波长的整数倍.,4、视为粒子：粒子出现的几率为该处归一化波函 数模的平方。,二、遂道效应：,如果势阱深度有限， 的定态波函数在阱外 的值不等于零，随 而衰减的。这是和经 典物理很不相同的量子效应。只能用波的反射 和透射来解释。,能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒称为,遂道效应。,26,穿透概率为,才有明显的穿透率,对于宏观粒子 m , D 很大,27,扫描隧道显微镜,隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系,1993年（M.F.Crommie) 把蒸

6、发到铜表面的 48 个Fe原子排列形成7.13 nm 的“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,28,3 氢原子,一、原子光谱的实验定律,原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，,氢原子的光谱项：,29,R为里德伯恒量，,对氢原子来说，它所发的光的波数，就是某两个光谱项的差。,30,经典理论无法解释：电子饶核公转，作加速运动的电子要辐射电磁波，其频率等于公转频率。电子辐射电磁波，能量逐渐减小，饶核公转的轨道半径就逐渐减少，频率也随之改变。光谱应是连续的。,二、玻尔理论解释氢原子光谱：,将普朗克的量子概念

7、应用于原子，假设：,（1）、原子有一系列的具有一定能量的稳定状态定态。定态中的电子，虽作加速运动，但不辐射电磁波。仅当原子从能量大的定态跃迁到能量小的定态时，才发射一个光子。根据能量守恒，光子的 能量应等于两个定态的能量差：,反子，则吸收光子到高能级去。,31,（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动量矩L等于 的整数倍。,玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。,库仑力充当圆周运动的向心力,化简得：,32,原子的能量是动能加势能：,根据：,定态轨道半径：,33,定态氢原子的能量：,能量是分立的。,电子从高能级跃迁到低能级时，就发射一个光子：,所

8、以：,34,赖曼系,帕邢系,巴尔末系,n=1,n=2,n=3,n=4,氢原子能级图,帕邢系,定态氢原子能量,巴耳末系 可见光 帕邢系 红外区 赖曼系 紫外区,36,三、量子力学对氢原子的应用,解以上方程： 只有E取某些值时， 才有满足自然条件的解。,势能函数,n为主量子数，它决定氢原子的能量,电子绕核运动时，不同的运动状态，具有不同的动量矩，动量矩的大小是量子化的。,l称为副量子数或角量子数，它决定动量矩的大小,动量矩在任一方向的分量也是量子化的 （Z轴）,m称为磁量子数，它决定 之值。,38,能量为E的状态并非一种，有 种，它们有不同的动量矩和动量矩分量。 电子的状态可用 n, l, m三个

9、量子数来表示。,39,4 电子的自旋 四个量子数,一.电子的自旋,40,斯特恩盖拉赫实验（1921）,轨道运动磁矩,不均匀磁场,(2l1),基态银原子l0 应无偏转,射线的偏转表明：电子还应具有自旋角动量,设自旋角量子数为S,自旋动量矩与轨道动量矩相似，也是量子化的,41,它在磁场方向的分量,s称为自旋量子数， 叫做自旋磁量子数,S只能取两个值： -s, s , 二者之差为一，,自旋动量矩的大小,42,自旋动量矩在 z轴的分量,二.原子的壳层结构,电子运动由四个量子数决定,主量子数n: n=1,2,3,轨道角量子数l: l=0,1,2,(n-1),轨道磁量子数ml: ml=0,1, 2, l,

10、自旋磁量子数ms: ms=1/2,43,三、泡利不相容原理,不能有两个电子具有相同的n,l,ml ,ms,主量子数相同的诸态属于同一壳层。n=1,2,3, 分别称为K,L,M,N,O,P, 壳层。同一壳层中， 相同的诸态属于同一分壳层， 之分壳层分别用s,p,d,f, 表示。n一定， 的可能值有n个， 给定，m的可能值有 个， 只有两个值。所以，主量子数为n的状态的数目为,四、原子中电子的壳层结构,44,能量最小原理。,我国理论工作者提出一个经验公式,以钾为例：,n小的壳层尚未填满，却在 n大的壳层中 有电子填入,45,例1：计算电子自旋动量矩在外磁场中所可 能取的角度,解：自旋动量矩为,式中,46,下图画出了 时L的五种可能取向。,47,例2、用量子数写出 亚壳层中六个电子的各 量子态。,48,49,50,例