北航数值分析B第一章2.ppt

1、2 向量，矩阵范数，矩阵的条件数,线性方程组，解的形式均为向量，如近似解,该近似解的误差估计如何？,解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。,向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是,定义9（向量范数）,（1）正定性,（2）齐次性,（3）三角不等式,1、向量范数的定义,2、常用的向量范数,定义10,称为向量的能量范数。,（1）向量的“”范数：,（2）向量的“1”范数：,（3）向量的“2”范数：,（4）向量的能量范数：,3. 范数的等价性,定理20,证明：,于是有,(1),(2),注：,(3),定义13 （矩阵范数）,的某个非负实值函数,若对任意的nn矩阵A，B满足下述条件：,

2、由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种,和向量范数是相容的，即对,有不等式,（1） 正定性 ：,（2） 齐次性 ：,（3） 三角不等式 ：,矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的，并且这种矩阵范数,矩阵范数与向量范数的相容性条件,四、矩阵的范数,的 Frobenius范数，,称为A,2、矩阵的算子范数,且有一向量范数,相应的定义一个矩阵的非负函数：,（最大比值）,为矩阵A的关于向量范数,定理22,向量范数，则,上一个矩阵范数且满足相容条件：,的算子范数或诱导范数。,定义14 ( 矩阵的算子范数),（i）因为,证明：,一个矩阵范数( 满足三个条件)，,（ii）,（iii）,以下

3、证明满足相容性：,（1）,（2）,由x的任意性知,诱导范数的 矩阵相容性,诱导范数与其相应的向量范数相容,定理23 （矩阵范数公式）,A的行范数,的列范数,的“2”范数或的谱范数,3、矩阵范数公式,每个向量范数，都可相应地定义一个矩阵范数，常用的诱导范数的计算方法由定理23给出。,分析：,（1）的证明分两步，一证,二证明存在,证明:,对任何向量,，则有,如果能找到一向量,那么，定理得证。,且由（9.1）式有,下面来寻求 使比值等于 ，,由此，应选取,（3）,（2）证明与（1）相似。,正交性,所以,因为,另一方面，,因而,所以,又,所以,例：,例：,如：,1、矩阵的算子范数是矩阵范数，,定理22

4、,矩阵范数不一定是算子范数。,说明：,4、矩阵范数的等价性,定理24,定义25 （矩阵的谱半径）,的特征值为,为A的谱半径。,定理25（特征值界）,为满足矩阵、向量相容性条件的矩阵范数（算子范数）。,为对称矩阵，则,五.谱半径,2. 特征值界,证明（1）,设 为A的任一特征值，于是，存在,9.2 矩阵的条件数，病态方程组,设有线性方程组,而需处理的实际矩阵是,由此，需要研究方程组数据A,b的微小误差（扰动）,对解x的影响，,即考虑方程组,估计问题。,向量是,的解 y和x的差的,问题：,1）方程组是否有解？,2）解的精确度如何？,若 为A的特征值，,(2),则 为A2 的特征根，,又A为对称矩阵

5、，则ATA=A2,且ATA也是对称的，,例12 设有方程组,精确解,讨论方程组,常数项相对误差：,解的相对误差为：,说明：由于常数项微小误差引起解的相对误差较大，,是常数项,相对误差的10000倍，也就是说，此方程组解对方程组的数据A，b,非常敏感，这样的方程就是病态方程组。,对于什么样的方程组是,病态方程组，若按以上例子来讨论太麻烦，因此我们从原方程出,发讨论刻划方程组病态的量，即扰动分析。,1. 实例,定理27,为非奇异矩阵，x为精确解，,则b微小误差(扰动、摄动)引起解x的相,对误差有估计式：,上式说明，常数项b微小误差引起解的相对误差可能是,即上式的不等号中的等号可以成立。,说明：,定

6、理28,则矩阵A微小误差引起解的相对误差有估计式：,(1)由定理28，当 充分小,即,A的相对,摄动引起解的相对误差就愈小；,引起的解的相对误差就可能愈大。因此，,在某种程度上刻画了解对问题数据敏感程度。也可以,说成用,来描述方程组本身的一种性质，它影响到解的,为非奇异矩阵，x为精确解，,说明：,可靠程度。,定义16,称为矩阵A的条件数（Condition Number）。,A的谱条件数（即取 ）,当A为对称正定矩阵时，其中A特征值为,注：,条件数性质,由于,(3) A为正交矩阵，则,(4)设A为非奇异矩阵，P为正交矩阵，则,事实上，由于,事实上，由于,事实上，由于,（5）A为对角方阵,(4)

7、设A为非奇异矩阵，P为正交矩阵，则,事实上，由于,注:,2、由性质（4）知用正交变换约化矩阵是合理的。,例,（计算机判断结果）。,有精确解。,4. 病态方程组,定义17,为非奇异矩阵。当A的条件数,相对的大,是病态方程组,或A是病态的，当A的条件数,(3) A为正交矩阵，则,3 、用条件数，即积 作为方程组好条件或坏条件,的一种度量。而不能用行列式的值来刻画方程组条件的好坏。,（或坏条件的），,方程组（或好条件，或A是良态的）。,相对的小，,是良态,（1）条件数与A及,有关，因此方程组是病态的或良态,无关。,（2）矩阵的条件数愈大，方程组病态程度愈严重，也就愈难用,普通计算方法求得比较精确的解。,例Hilbert 矩阵（著名的病态矩阵）。,例13 设有方程组,解,容易计算,所以,说明：,的，只与A有关，也即是方程组本身固有的，与解 的方法,因此,该方程组是病态方程组。,5. 向后误差估计,为计算近似解。用计算剩余,来检验计算解的精度，是否,一个较好的近似解呢？,定理29,（1）设A为非奇异矩阵，,相对误差有估计式,( 2 ) 设 是方程组一个近似解，,则近似解 的,证明,该结论说明，近似解,精度(误差界)不仅依赖于剩余,“大小”，依赖于A的条件数，当A是病态时，即使有很小,当原方程是好条件的,解方程,说明：,的剩余，也不