单摆运动规律的研究

1、.关于单摆运动规律的研究摘要单摆问题是高中物理及高等院校一般物理实验教学中的基础问题。 受到各种因素的影响，其运动规律很复杂。 建构了理想模式下的单摆数学模型、现实中的单摆数学模型等，探讨了单摆的运动。首先，从理想情况下牛顿的第二定律进行推论，建构了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探讨。然后本文建构了一种无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。最后，本文从实际出发，考虑了单摆运动所受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为化学基，现实中建构了单摆的运动模型，并对深度单摆运动进行了探索。牛鼻子字简并性运动角度衰减运动单摆运动目录1 .问题的说明2 .模型

2、假设3 .模型的建立和解决1理想模式下单摆的数学模型1.1小角度单摆运动模型1.1.1模型制作1.1.2模型求解1.1.3结果分析1.2大角度单摆运动模型1.2.1模型制作1.2.2模型求解1.2.3结果分析2现实模式下单摆的数学模型2.1小、大阻尼单摆运动模型2.1.1模型制作2.1.2模型求解2.1.3结果分析四模型分析问题的说明我们可以从平时接触的钟摆和秋千等实物中抽象化出单摆的模型。 细线的一端固定在汽车悬挂点，另一端是小球，细线的质量与小球相比，如果可以忽略，球的直接与线的长度相比，可以忽略，这样的装置被称为单摆。 从理想情况进行分析，逐渐完善推导出单摆的实际运动规律。二模型假说1悬

3、挂的小球细线的伸缩和质量被忽略，线的长度比小球的直径大得多2 .设备的严格水平3 .没有驱动力。三种模型的建立和解决1理想模式下单摆的数学模型图1简单摆模型在时刻t，摆受到的切向力ft(t )成为重力mg的运动圆弧切向的分力、即f (t )=米格森(t )在完全理想的条件下，根据牛顿第二运动定律，切线加速度如下a (t )=GS英寸(t )因此得到单摆的运动差分方程群=1.1小角度单摆运动模型问题1.1.1模型制作如果振动角较小，则方程1可以简化到：因为sin1.1.2模型求解使用matlab软件在 0，5 o 中分别作成式(1)和式(2)的解，得到图像小角度单摆摆动规律(-方程式(1)的解，

4、*方程式(2)的解)1.1.3结果分析从图像可知两个方程式的解的图像大致一致，在q小的情况下(5 )，两个方程式的解大致相等，单摆运动可以看作是简并性运动。1.2大角度单摆运动模型1.2.1模型制作在偏转角大的情况下，没有方程式sin 如果再成立，式(1)和式(2)的解就不接近了1.2.2模型求解此时，使用MATLAB校正计算软件来获得2000个不同偏航角的精确解，然后以偏航角作为横轴，利用绘制函数polt (x，y )来绘制任意偏航角下的单摆周期的精确解的曲线%单摆周期与摆角的关系a=0；b=pi/2；n=1000；s1=1: n；h=(b-a)/n；h1=pi/(2* n )c=0: h1

5、: pi/2x=a；s=0；for i1=1: (n 1)f0=2/sqrt (1- (正交(c (I1)/2 ) ) 2* (正交(x ) ) 2)/pifor i2=1: nx=x h；f1=2/sqrt (1- (正交(c (I1)/2 ) ) 2* (正交(x ) ) 2)/pis=s (f0 f1) * h/2。f0=f1；结束磁盘(1/s )s1(i1)=s；s=0；结束打印(c、s1)标签(theta0/rad)ylabel (t/t 0)大摆角单摆的运动规律普计程仪拉姆是：%建立方程式(1)功能xdot=per (t，x )xdot=-9.8 *正弦(x (2) ) x (1)

6、 %建立方程式(2)功能xdot=per1(t，x )xdot= -9. 8* x(2) x(1) 用ode45解%差分方程t0=0； tf=10；“每秒”、“t 0、t f”和“二分之一、零”等等t 1、x1=节点45 (第一节点、t 0、TF节点、pi/2、0节点)打印(t，x (:2 )，)保持打开打印(t 1，x1(:2，2 )， )1.2.3结果分析如图所示，随着单摆角的增大，单摆的周期也增加图中的两条曲线：大摆角振动时，单摆的运动轨迹不是单纯的正、侑弦曲线(相似)，而且，最大摆角越小，两条曲线越相似，摆角越大，分离越显山露水2现实模式下单摆的数学模型2.1.1模型制作现实中，绳索质

7、量、摆半径、空气阻力等影响单摆的摆动，这些个影响的主要作用是阻止单摆摆动，为了简单起见，单摆在摆动过程中可受到阻力fz，显然阻力与摆的运动速度有关，即阻力与单摆线速度有关在上式中，k0是电阻比例系数，式中的负号表示电阻方向和摆动方向相反。 切线加速度由切线合力ft-fz产生，根据牛顿第二运动规律因此，得到修正后的单摆运动差分方程组2.1.2模型求解在此基础上建立一个仿真计程仪程序辅助(2，1，1 )dt=0.0001； %伪步骤T=16； %模拟时间长度t=0:dt:T； %模拟修正计算时间序列g=9.8；L=1.5；m=8；k=3；th0=1.5； %初始跳动角的设定不能超过/2v0=0；

8、%初始摆动速度设定v=zeros (size (t ) ) :通过预先初始化% plug计程仪内存变量，可提高执行速度th=zeros (大小(t ) ) :v(1)=v0；th(1)=th0；for i=1:length(t) %模拟求解开始v (I1)=v (I ) (g *正弦(I ) )-k./m.* v (I ) ).* dtth(i 1)=th(i)-1./L.*v(i).*dtend %是使用2坐标系绘图的其中ax，B1，b2=打印y (t，v (13360长度(t ) )，t，th (13360长度(t ) )，打印设定(b 1、线型、- )； 设定%图的线型设定(b 2、线型、 )；标记设置(get (ax (1)，Ylabel )，字符串，线速度v(t)m/s): %set (获得(ax (2)，Ylabel )，字符串，角位移，th(t)/rad ) :标签(时间t/s )；长度(b 1、线速度v(t )、2 )；legend(B2、角位移th(t )、1 )如果增大电阻系数k=50，则能够得到大的衰减时的单摆的运动2.1.3结果分析对于小阻尼大头针，单摆运动不是共振运动，其振幅一