例题9-1两个半径分别为R和r的球形导体(Rr)-用一根(精).ppt

1、例题9-1两个半径分别为R和r 的球形导体（Rr），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。,解两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为,得,可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。,因为两球的电荷密度分别为,所以,可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电

2、荷面密度愈大。,例题9.2 在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求： （1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势； （2）小球与球壳的电势差； （3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差；,解（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。 小球和球壳内外表面的电势分别为,球壳内外表面的电势相等。,（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为,（2）两球的

3、电势差为,两球的电势差仍为,由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳, 与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。,例题9-3三个电容器按图连接，其电容分别为C1 、C2和C3。求当电键K打开时， C1将充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。,解 已知在K闭合前， C1极板上所带电荷量为q0 =C1 U0 ， C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后， C1放电并对C2

4、、 C3充电，整个电路可看作为C2、 C3串联再与C1并联。设稳定时， C1极板上的电荷量为q1， C2和C3极板上的电荷量为q2，因而有,解两式得,因此，得C1 、C2和C3上的电势差分别为,9.4 半径R 的介质球被均匀极化，极化强度为P。 求：1) 介质球表面的分布；2) 极化电荷在球心处的场。,由此可知，右半球面上,左半球面上,2) 在球面上取环带,解：1) 球面上任一点,E沿x轴负方向，和反向。,在球心处的场,例题9.5 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为），求球外任一点p的场强及极化电荷分布。,解: 根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心

5、对称分布，可知此时的电场分布必仍具球对称性，所以用有电介质时的高斯定理来计算球外P点的场强是很方便的。 如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知,所以,写成矢量式为,结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/r倍, 可求出电极化强度为,电极化强度 与 有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为,于是得,因为r 1，上式说明恒与q0反号，在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为,总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是离球心r处P点的场强减小

6、到真空时的1/r倍的原因。,解 （1 ）设这两层电介质中的场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 都与板极面垂直，而且都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，如图中中间的虚线所示，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得,例题9-6平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为1 和2 ，厚度分别为d1 和d2 ，电容器两板极上自由电荷面密度为。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）电容器的电容,所以,即在两电介质内，电位移 和 的量值相等。由于,所以,可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电

7、容率）成反比。,为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得,、 和 、 的方向都是由左指向右。,式中q= S是每一极板上的电荷，所以这个电容器的电容为,可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。,（2）正、负两极板A、B间的电势差为,例题9-7一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片（ r=6.5 ）作为绝缘，其击穿场强为107V/m，已知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场

8、，其场强 E1与陶瓷面法线成1=300角，大小为E1=2.0 104V/m 。求（1）陶瓷中的电位移 D2 和场强E2 的大小和方向，（2）陶瓷表面上极化电荷的面密度。,解 （1 ）如图中所示，设陶瓷内电位移 的方向与法线成2角,小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿,（2）极化电荷的面密度为,例题9-8如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。,解一 相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有12对，即 ；面 对角线长度为 。6个面上12对对角顶点负电荷间的相互 作用能量是 ；立方体对角

9、线长度为 ， 4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是 ； 立方体中心到每一个顶点的距离是 ，故中心正电荷 与8个负电荷间的相互作用能量是,所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为,解二 任一顶点处的电势为,在体心处的电势为,按式可得这个点电荷系的总相互作用能为,结果与解一相同,9.9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能,解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场,解二：计算带电体系的静电能,再聚集,这层电荷dq，需做功：,而,所以,球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷,例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开电源后再

10、把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为0）。,板极上带电 Q时所储的电能为,故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为,解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为,（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以,例9-11 平行板空气电容器每极板的面积S= 310-2m2 ，板极间的距离d = 310-3m 。今以厚度为d = 110-3m的铜板平行地插入电容器内。（1）计算此时电容器的电容；（2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？,解 （1）铜板未插入前的电容为,设平行板电容器两板极上带有电荷q,面密度为 =q/S ，即。在铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板A、B的电势差为,所以铜板插入后的电容C 为,2）由上式可见，C