8第八章 假设检验.ppt

1、基本概念 单个正态总体的假设检验 两个正态总体的假设检验,第八章 假设检验,非正态总体的假设检验,8.1 假设检验的基本概念,假设检验和估计理论一样, 是数理统计的重要内容.,设总体 X 的分布函数F(x;)中的 未知, 现对 提出假设,“= 0”. 问怎样利用子样X1 , X2 ,. ,Xn提供的信息,来检验这个假设是成立还是不成立? “最佳”检验,的准则又怎样确定? 这类问题称为参数的假设检验.,参数估计和参数检验, 是利用样本提供的信息, 建立,样本的函数估计量或检验统计量, 从不同的角度,来处理未知参数的两种统计方法.,除参数的假设检验问题外, 还有非参数假设检验也,相当重要.它是指对

2、随机变量X的分布函数表达式提出,假设作检验, 以及随机变量X和Y之间的相关性和独立性,等问题的假设检验, 也属于非参数假设检验.,一 假设检验问题,例1,某工厂用包装机包装白糖, 装好的袋装糖重量是,一个随机变量X , 服从N(, 2), 当机器正常时,其均值,为0=0.5 kg, 标准差0=0.015 kg, 某日开工后, 为,检验包装机是否正常, 随机抽取9袋, 称得重量为,0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512,问包装机工作是否正常?,所谓机器是否正常, 就是要根据样本数据判断, = 0=0.5 =0=0

3、.015 是否成立?,例2,例3,某工厂生产的日光灯其光通量X服从正态分布,是否正确, 如何检验?,本题是对总体的分布类型进行判断.,以上三个例子, 例1, 例2是参数检验, 例3是非参数检验.,假定按国家规定, 某产品的次品率p不得超过1%,现从一批产品中, 随机抽出200件, 经检查发现有3件,次品, 问这批产品的次品率p是否符合国家标准.,即根据抽样的结果判断 p0.01是否成立?,参数的假设检验:,非参数假设检验:,对总体X的分布函数类型提出,假设作检验,或对随机变量X和Y之间的相关性和独立性,等问题的假设检验.,对总体X的数字特征或分布函数中,的参数提出假设作检验的问题.,二 假设检

4、验的基本原理,下面用例1来说明假设检验的基本原理,例1,某工厂用包装机包装白糖, 装好的袋装糖重量是,一个随机变量 ,服从N(, 2), 当机器正常时,其均值,为0=0.5kg, 标准差0=0.015kg, 某日开工后, 为,检验包装机是否正常, 随机抽取9袋, 称得重量为,0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512,问包装机工作是否正常?,假设标准差比较稳定,即=0.015不变.要判断,机器是否正常, 就是要根据样本数据来判断=0.5,还是0.5, 为此提出假设:,H0: =0=0.5,H1: 0,判断机器是否正

5、常, 就是要在H0和H1之间作出,接受哪一个, 拒绝哪一个的判断.,称H0为原假设(零假设,解消假设),称H1为备选假设,当H0成立时,给定一个很小的正数 (0 1), 称为显著性水平,1 称为置信水平.,例如=0.05,查正态分布表可知,P|U|1.96=0.95,或,P|U|1.96=0.05,因此, 若H0成立, 则,|U|1.96 的概率为0.05.,如果在一次抽取中,满足|U|1.96, 就认为,“假设H0” 是不正确的, 应该被否定或者被拒绝.,在例1中，n=9, =0.015,因此,应当拒绝H0,=0.511,则有,即这一天机器工作是不正常的.,假设检验的基本思想:,1 反证法思

6、想:,为了检验假设H0是否正确,首先假定,2 小概率原理:,假设H0是正确的.如果出现一个不合理的现象,则表明,“H0是正确的”这一假设是错误的,应拒绝(或否定) H0.,如果没有出现不合理的现象,则认为“H0是正确的”,这一假设是正确的,就应接受(或不否定) H0.,上述所谓的不合理现象,并不是形式逻辑,中的绝对不合理, 而是根据小概率原理.,小概率原理认为:,“小概率事件在一次试验中是几乎,三 两类错误,不可能发生的.”,个不合理现象.,如果小概率事件发生了, 我们认为这是,概率小到何种程度没有绝对的标准, 通常取=0.05,=0.01, =0.001 等.,由样本去推断总体,即用部分去推

7、断整体, 这个特点决定,了不能保证绝对不犯错误.,1.,P拒绝H0 |H0为真=,P接受H0 |H0不真=,犯第二类错误的概率为,2.,原假设H0确实是正确的，但样本值却拒绝H0,称这种错误为第一类错误, 或“弃真”错误.,犯第一类错误的概率为,此处 为显著性水平,原假设H0确实不正确，但样本值却接受了H0,称这种错误为第二类错误, 或“纳伪”错误.,注意: 1,通常 很难计算.,自然希望, 越小越好,但下面的例子说明,在样本容量 n 给定的前提下,要使, 同时都充分地小,是不可能的.,例4,设总体X N(, 2), 2已知, 只能取两个值,0和1, 且假设0 1, X1 , X2 , . ,

8、 Xn 为样本,试在,显著性水平下,检验假设,H0 : = 0,H1 : = 1,当H0 成立时,解:, N(0, 1),在显著性水平下, 得到,即,记,则有,下面计算犯第二类错误的概率, 由定义知, =,如图,左移, 增大, 减小,右移, 减小, 增大,因此,要使, 同时减小, 只有增大样本容量 n,此时,其密度,函数变陡, , 同时减小.,通常的原则是：固定，能使达到最小的检验法,（此原则也称为“固定第一类错误概率的原则”.,控制这个概率, 也就是说, 这个原则并非是绝对的),当然，也有些情况，确实第二类错误的危害更大,有必要,错误被认为更有害，更需要控制.,其二，从实用的观点看，多数假设

9、检验问题中，第一类,其一，统一在一个原则下，讨论问题比较方便.,为什么不固定 而使 尽可能小？主要有两个原因:,就是最好的检验法.,根据实际问题的要求提出原假设H0和,第一步：,四 假设检验的一般步骤,备择假设 H1 , H0和 H1 是相互对立的.,例如 若H0 : = 0, 则H1 有以下三种情况:,(1) H0 : = 0, H1: 0,(2) H0 : = 0, H1 : 0,(3) H0 : = 0, H1 : 0,其中(1)称为双边检验.,其中(2), (3)称为单边检验.,第二步：选取一个合适的检验统计量，并根据原假设,H0和备择假设 H1 确定H0的拒绝域.,在例1中,或,为

10、H0的拒绝域.,则,而,为 H0的接受域.,称为 临界值.,第三步：,给定显著性水平 ，,通常 =0.05, 0.01, 0.10, 0.001等,第四步：,由样本的观测值计算出检验统计量的具体值.,第五步：,作出判断.,若计算结果在拒绝域内,则拒绝H0. 否则就不拒绝H0.,(拒绝域与接受域是互斥的，因而只要知道其中,之一即可.),两点说明:,1 对于H0, 给定不同的显著性水平,对应不同的拒绝域.,如果检验统计量u的值落入阴影中,当给定3=0.10时, 作出否定H0的结论,当给定2=0.05时, 作出接受H0的结论,2 不拒绝H0 (或接受H0) , 并不是说不必再作进一步的,检验就可以断

11、然接受H0 ,即并不认为H0一定是正确的.,拒绝H0 比接受H0 更有说服力.接受H0 只是因为没有充,足的理由拒绝H0 才接受H0.,假设检验 - 希望拒绝原假设H0的检验.,取检验统计量,8.2 单个正态总体参数的假设检验,设总体XN(, 2) , X1 , X2 ,. ,Xn是取自总体的样本,和S2为样本均值和方差, 为显著性水平.,一 当2已知时, 均值的检验,H0: = 0 H1: 0,1 (双边检验),N(0, 1),若检验的假设是,当H0成立时,对给定的, 查正态分布表, 使得,于是得到H0的拒绝域为,这种检验法称为u检验法.,2 (单边检验),若检验的假设是,H0: =0 H1

12、: 0,当H0 成立时, N(0, 1),当H0 成立时, u的值不应太大.,而当H1 成立时, u的值往往偏大.,因此, Puu= ,于是得到H0的拒绝域为,类似地, 若检验的假设是,H0: = 0 H1: 0,可得到H0的拒绝域为,例5,已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从,N(4.55 , 0.1082 ) ,现观测了5 炉铁水，平均含碳量为,如果方差不变,问(1)现在的生产是否正常？,解：,由题意，,n = 5,因此,要检验假设,(1)生产是否正常等价于平均值 是否等于4.55,H0 ：,H1 ：,由于方差2= 0.1082已知, 用u检验法,当H0成立时,N(0, 1),(2)现

13、在生产的铁水的含碳量是否显著偏低？,使得,查表求出,因此, H0 的拒绝域为,u | |u|1.96,经过计算, u的观测值|u|=3.8511.96,因此, 拒绝H0 . 从而认为现在生产不正常.,要检验的假设为,2）当前生产的铁水的含碳量是否显著偏低？,当H0为真时，,对于给定的,令,查表得,因此,H0的拒绝域为,统计量U的观测值为,U的观测值落入拒绝域中,所以在显著性水平 =0.05下,拒绝H0(接受H1).,即认为现在生产的铁水的含碳量显著偏低.,二 当2未知时, 均值的检验,1 (双边检验),H0: = 0 H1: 0,此时2未知,不能用,用,当H0成立时,因此, 对给定的, 查t分

14、布表, 使,因此, H0的拒绝域为,(这种检验法, 称为 t 检验法. ),2 (单边检验),H0: = 0 H1: 0,可得到H0的拒绝域为,例6,某工厂生产的日光灯寿命(小时)X服从N( , 2 ) ,现观测了20个日光灯，计算出,问该厂日光灯的平均寿命为“ =2000”这个结论是否成立？,解：,由题意，,要检验假设,H0 ：,H1：,由于方差2未知, 用t 检验法,当H0成立时,t (n1),s=497,即,当=0.05时,查表得,而T的观测值为,因此, 不否定H0.,三 方差2的检验 (2检验法),设要检验的假设为,(02为已知常数),用检验统计量,当H0成立时,即,因此, 对给定的,

15、 H0的拒绝域为,类似地, 若检验的假设是,H0的拒绝域为,若检验的假设是,H0的拒绝域为,例7 美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进行调 查，随机抽取9户作为样本，每年开支除去税款及住 宅费用外，样本数据为（单位：万元） 4.9，5.3，6.5，5.2，7.4，5.4，6.8，5.4，6.3,假定住户消费额 X 服从N( , 2 ),问此住宅区的所有住户,消费数据方差2 =0.3是否可信? ( =0.05),解:,要检验的假设:,当H0成立时,n =9 , = 0.05,得到H0的拒绝域为,即,查表:,2的观测值为,落入H0的拒绝域中, 所以拒绝H0,即认为住户消费数据方差2 =0.3不可

16、信.,例8.已知某种导线的电阻服从,其中一个质量指标是标准差不得大于0.005,现从中抽取9根导线并测其电阻,样本标准差s=0.0066,问这批导线的电阻是否合格? ( =0.05),其中未知,解:,要检验的假设:,当H0成立时,构造检验统计量,查表:,得到H0的拒绝域为,2的观测值为,落入H0的接受域中, 所以接受原假设H0,即在显著性水平=0.05下, 认为这批导线的电阻合格.,设总体XN(1,12), 而X1, X2, . , Xn为X的样本,总体YN(2,22), 而Y1, Y2, . , Ym为Y的样本,并且假定两个样本相互独立.,记,8.3 两个正态总体的比较,一 当12,22已知

17、时,检验假设,因为,分别服从正态分布且相互独立,所以,因此, 当H0 : 1=2 成立时,用检验统计量,对给定的, 查正态表, 使得,从而得到H0的拒绝域为,(这种检验法称为u检验法),类似地, 若检验的假设为,可得到H0的拒绝域为,若检验的假设为,可得到H0的拒绝域为,例9、制药厂从某种药材中提取有效成分，现对同一质 量的药材采用甲、乙两种不同工艺提炼，分别各取10 个单位，测得提取有效成分的比率（%）为： 甲： 76.2, 76.0, 77.3, 72.4, 74.3， 78.4，76.7, 75.5, 78.1， 77.4,乙：77.3， 80.0， 79.1，77.3，80.2, 81

18、.0, 79.1 ， 82.1， 79.1， 79.7,设两个样本分别来自总体,要检验的假设:,解:,N(1 ,3)和N(2 ,3)且两个样本,独立, 问两种工艺的出药率是否显著不同?( =0.01),当H0成立时,当=0.01时,得到H0的拒绝域为,即,U的观测值为,落入H0的拒绝域中, 所以拒绝H0, 即认为两种工艺,的出药率有显著不同.,二 当12=22= 2未知时,检验假设,H0 : 1=2,H1 : 12,取检验统计量,当H0 : 1=2 成立时,即 12 =0时,(这种检验法称为t检验法),例10 从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率(%)如下 甲矿： 24.3， 20.8， 23.

19、7， 21.3， 17.4 乙矿： 18.2， 16.9， 20.2， 16.7,要检验的假设:,X与Y相互独立,解：这是关于两个正态总体的均值是否相等的问题，,由题设：,假定各煤矿含灰率都服从正态分布，且两个总体的方差,相等，问甲, 乙两煤矿的含灰率有无显著差异?,(=0.05),当H0 : 1=2 成立时,对给定的=0.05, 令,n=5, m=4, n+m2=7,得到H0的拒绝域为,T的观测值,因为T的观测值在H0 的接受域中,所以不否定H0,即认为两矿的含灰率无显著差异.,三 方差的检验,检验假设,(1, 2均未知,称为F检验法),取检验统计量,由抽样分布定理可知,当H0 成立时,分别

20、是,的无偏估计,因此, 当H0 成立时,不应相差太大,也就是说,应接近于1,否则,当12 22时,有偏大的趋势,当12 22时,有偏小的趋势,设甲、乙两个车间生产的电灯泡寿命都服从正态,分布,现从甲、乙两个车间分别抽出n=50,m=60个样品,测得其寿命数据如下(单位:小时):,甲:,乙:,问两车间的电灯泡寿命有无差异?(=0.05),解:,设X, Y分别表示甲乙两车间的电灯泡寿命,则 XN(1, 12), YN(2, 22),需要检验两个假设:,(1) H0 : 1=2 H1 : 12,(2) H0 : 12 = 22 H1 : 1222,例11,由于方差未知且是否相等也未知,因此暂时无法检

21、验假设(1), 只能先检验假设(2).如果拒绝H0, 即1222 ,则认为两车间的灯泡寿命有显著差异,也就无需检验假设(1).如果接受H0, 即认为12=22 , 则以此为条件再检验假设(1).,第一步: 先检验假设(2),对于=0.05,查表得 F0.025 (501, 601) =1.70,F0.975 (501, 601) =1/1.80,因此,而,F0.975 FF0.025,所以, 接受H0,第二步: 再检验假设(1),因为方差未知且相等,所以用t检验法,对于=0.05, 自由度 n+m2=108, 查 t 分布表,t0.025(108)=1.96,因为 | t |=4.3951.9

22、6,所以拒绝H0 , 即认为两车间的灯泡寿命有显著差异.,则(T1, T2)即为参数 的一个置信水平为1的区间估计.,8.4 置信区间与假设检验的关系,设要作参数 的置信水平为1 的置信区间,一 通过假设检验构造置信区间,H0: =0 H1: 0,考虑双侧检验,设这个检验有接受域w, 将w改写成等价形式T10 T2,例如: 正态总体N(, 2)在方差已知时均值的双侧检验,H0: = 0 H1: 0,H0成立时, 统计量,N(0, 1),其接受域,即,将w改写为,所以参数的置信水平为1的置信区间为,H0: 0 H1: 0,类似地, 考虑单侧检验,设其接受域为w, 将w改写成等价形式,0 (X1,

23、 X2, .Xn),例如: 正态总体N(, 2), 方差已知, 均值的单侧检验,H0: 0 H1: 0,所以的区间估计为,其接受域,二 通过置信区间构造假设检验的接受域(略),区间估计和假设检验之间有很密切的关系, 这种关系,不只是形式上的. 事实上, 某种准则下的最优检验, 往往,导致相应准则下的最优区间估计, 反之亦然.,与点估计和假设检验相比, 区间估计的精度和可靠度,一目了然.,设从总体N(, 2)中抽取样本, 去检验假设H0: =0.,结果H0被接受了. 这并不意味着“证明了 ” =0，而且,甚至无法估量真正 的值与0相去多远. 如果的区间估计,为0.05, 0.07 (设1=0.9

24、5) , 则与0的距离不过0.07.,因此, 我们不仅“接受 =0” . 事实上, 可以认为就是0.,如果的区间估计为15, 20 (设1=0.95),此时, 我们虽然“接受 =0” , 但对 所知甚少.,反之,如果H0: =0被否定, 即有比较显著的证据认为 0,此时仍然无法知道其实际意义. 如果的区间估计,为0.01, 0.03, 虽然 =0在统计上被否定, 事实上,可以认为 就是0. 如果 的区间估计为40, 50,不仅 =0要否定,而且 与0至少相距40.,注:,(1) 在实际应用中, 对假设检验的结果的解释要谨慎,(2) 区间估计所提供的信息比假设检验更为确切.,必要时参考区间估计.

25、,设总体X , 而X1, X2, . , Xn为X的样本, 求对总体,由中心极限定理, 当n充分大时, U近似服从N(0, 1),当DX= 2已知时, 取统计量,8.5 非正态总体参数的假设检验,均值 EX=a 的检验:,(简要介绍非正态总体均值的检验),H0: a=a0 H1: aa0,此种方法称为U检验法.,当DX= 2未知时, 用 S 2代替 2,取统计量,可以证明, 在H0成立时,U近似服从N(0, 1) (n充分大),1. 总体 X 服从两点分布,设PX=1=p, PX=0=1-p,0p1,求对均值EX=p 的检验:,H0: p=p0 H1: pp0,当H0成立, 且n充分大时,近似服从N(0, 1),则,接受域,例12.,某公司验收一批电子元器件,按规定次品率不超过,2才接受. 今从这批电子元器件中任意抽取100件,发现有,5件次品. 问这批电子元器件能否接受?,(=0.01),解:,总体 X 服从两点分布,设PX=1=p, PX=0=1-p,EX=p,DX=p(1p),p未知,要检验的假设为,H0: p=p0= 2 H1: pp0