曲线簇的包络曲线_第1页
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文档简介

1、曲线簇的包络曲线,一、包络的定义,定义1 对于给定的一个单参数曲线簇：,曲线簇(1)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线簇(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.,对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(1),或定义：,例如,单参数曲线簇：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一簇圆. 如图,从图形可见,此曲线簇的包络显然为:,x,y,o,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如: 单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见, 此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,如

2、何判断它是否有包络?,如果有包络, 如何求?,根据定义, 假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,从而得到二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线,上.,由于,与,在M点有相同的切线,而,与,在M点的切线的斜率,分别为,与,所以, 有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,现在,因此, 包络线,上任意一点M不仅要满足,而且还要满足,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,二、包络的求法,曲线族(1)的包络包含在下列两方程,注:,解,记,则,即,因此c-判别曲线包括两条曲线(4)和(5),x,y,O,例2,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解,记,则,消去参数,

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