26.1 二次函数.ppt

1、二次函数,人教版数学九年级下册,广西那坡县民族初级中学 隆玉山,某果园有100棵苹果树，每棵树平均结600个果实.现准备多种一些苹果树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个果实.,假设果园增种x棵苹果树，苹果的总产量为y个，请你写出 y与x之间的关系式.,果园增种 x 棵苹果树，共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量,y = (100+x)(6005x) =5x + 100 x + 60000,60375,60420,60455,60480,60495,60500,6

2、0495,60480,60455,60420,60375,银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).,y = 100(x+1)=100 x + 200 x + 100,y是 x的一次函数吗？是反比例函数吗？,y =5x + 100 x + 60000,y = 100 x + 200 x + 100,【知识与能力】,【过程与方法】,理解二次函数

3、的意义。 会用描点法画出函数 y = ax2 的图象。 知道抛物线的有关概念。,通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方法。 加深对于数形结合思想的认识。,通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性。,【情感态度与价值观】,二次函数的意义。 会画二次函数图象。 描点法画二次函数 y = ax2 的图象。 数与形相互联系,要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?,1.设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积 y m2。试将计算结果填写在下表的空格中： 2.x的值

4、是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式。,观察函数关系式 ， （1）函数关系式的自变量有几个? （2）多项式分别是几次多项式? （3）函数关系式有什么特点?,（1）有1个。 （2）二次多项式。 （3）用自变量的二次多项式来表示的。,提示,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数（quadratic function），a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,注意,x 的取值范围是全体实数。,（1） y=ax （a0，b = 0，c = 0） （2） y=ax +

5、 c （a0，b = 0，c0） （3） y=ax + bx （a0，b0，c = 0）,注意,的三种不同表示形式,等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,回顾,反比例函数的图象,一次函数的图象,二次函数的图象是什么样子的？,一条直线,双曲线,前面的 中,这些函数值有什么特点？,y = (100+x)(6005x) =5x + 100 x + 60000,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,

6、3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y = x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.,观察 这个函数的图象，它有什么特点?,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-2,-4,-6,-8,y = - x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.,-10,观察 这个函数

7、的图象，它有什么特点?,观察姚明的投篮,二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？,抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 。,抛物线,抛物线,抛物线,这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.,当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1 当x=2时，y=4,y,抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点

8、外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y = x2,y = - x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴上方(除顶点外),在x轴下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = x2、y= - x2,a0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同,顶点都是原点(0,0),

9、只是开口 大小不同,在同一坐标系中作二次函数y= -x2和y=-2x2的图象，会是什么样?,a 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.,顶点都是原点(0,0),只是开口 大小不同,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大

10、而减小.,y = ax2,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴都是y轴; 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1),位置不同; 最小值不同: 分别是1和0,在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样?,y = x2,不用描点法，你知道 y = x21、 y = x21 的图象是怎样的吗？

11、,y = x2 1,y = x2 1,例如：,二次函数上下平移 的口决,上加下减,y = x2,y = x2 1,y = x2 1,向上平移1个单位,向下平移1个单位,y = a (xh)2,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,向上平移k个单位,向下平移k个单位,一般：,顶点式,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0

12、时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = ax2 + c,在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴不同； 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(1,0),位置不同; 最小值相同,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴不同； 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(2,0),位置不同; 最小值相同,在

13、同一坐标系中作二次函数y =2(x1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次函数左右平移 的口决,左加右减,y = 2x2,y = 2(x+1)2,向左平移 1 个单位,向右平移1个单位,例如：,y = 2(x1)2,y = ax2 k,向左平移h个单位,向右平移h个单位,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,一般：,你能说出函数 的图象与函数 的图象的关系吗?,向右平移1个单位,向上平移2个单位,向右平移1个单位,向上平移2个单位,或者,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，

14、可以得到抛物线y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,y = a (xh)2 k 顶点式的特点,顶点坐标：,对称轴：,（h，k）,x = h,当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下；,二次函数的一般式 y=ax+bx+c 的图象是怎样的？,提取二次项系数,配方:加上并减去一次项系数一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,配方法,y = ax+bx+c 一般式,顶点坐标：,对称轴：,（1）设矩形的一边AB= x cm，那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少?,在一个直角三角形

15、内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.,M,N,最大面积问题,x cm,b cm,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c 有最小（大）值 。,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,1. 二次函数：,2、抛物线：,二次函数的图象都是抛物线。,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越

16、大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,3、抛物线 y=ax2 的图象 ：,4、抛物线 y = a (xh)2 k 图象的移动 ：,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,（1）当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下； （2）对称轴是直线 x=h； （3）顶点坐标是（h，k）.,5、抛物线 y = a (xh)2 k （顶点式）的图象特点：,顶点坐标：,对称轴：,6、抛物线 y = a

17、x+bx+c （一般式） 的图象特点：,y = ax+bx+c,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c 有最小（大）值 。,7. 二次函数的最值问题：,1.下列函数中,哪些是二次函数？,（1）y = 3(x1) + 1,（3）s=32t2,（5）y=(x + 3)x2,（6） v =10r,（是）,（是）,（不是）,（是）,（不是）,（不是）,2. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？,是二次函数关系式。,解：S = a( a)=a(30a)

18、= 30aa =a + 30a,4. 如果函数 y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是_。,0,3. 如果函数 y= +kx+1 是二次函数，则k的值一定是_ 。,0或3,5. 你能说出函数 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?,函数 的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，-2）；当x0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=-2。,6. 你能再画出函数 的图象，并将它与函数 的图象作比较吗?,函数 的图像向上平移2个单位可以得到函数 的图像。,7. 不画出图象，你能直接说出函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？,因为 ，所以这个函数的图象开口向下，对